Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61768 / 77001
↖ ↑ ↗
← S 30.014409°
W 10.349121°		 ← 264.47 m → S 30.014409°
W 10.346374°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 30.016787°
W 10.349121°		 ← 264.46 m →
69 940 m²		 S 30.016787°
W 10.346374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471256256103516 y=0.587474822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471256256103516 × 217)
    floor (0.471256256103516 × 131072)
    floor (61768.5)     		tx = 61768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587474822998047 × 217)
    floor (0.587474822998047 × 131072)
    floor (77001.5)     		ty = 77001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61768 / 77001 ti = "17/61768/77001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61768/77001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61768 ÷ 217
    61768 ÷ 131072     		x = 0.47125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77001 ÷ 217
    77001 ÷ 131072     		y = 0.587471008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587471008300781 × 2 - 1) × π
    -0.174942016601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.549596554143944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18062624} λ = -0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549596554143944))-π/2
    2×atan(0.577182625351597)-π/2
    2×0.523473033592587-π/2
    1.04694606718517-1.57079632675     		φ = -0.52385026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52385026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.014409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61768 KachelY 77001 -0.18062624 -0.52385026 -10.349121 -30.014409
    Oben rechts KachelX + 1 61769 KachelY 77001 -0.18057830 -0.52385026 -10.346374 -30.014409
    Unten links KachelX 61768 KachelY + 1 77002 -0.18062624 -0.52389177 -10.349121 -30.016787
    Unten rechts KachelX + 1 61769 KachelY + 1 77002 -0.18057830 -0.52389177 -10.346374 -30.016787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52385026--0.52389177) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52385026--0.52389177) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18062624--0.18057830) × cos(-0.52385026) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865899634199283 × 6371000     		do = 264.468036541025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18062624--0.18057830) × cos(-0.52389177) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865878869413397 × 6371000     		du = 264.46169444093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52385026)-sin(-0.52389177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865899634199283-0.865878869413397)×R²
    abs(-0.18057830--0.18062624)×2.07647858858628e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07647858858628e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07647858858628e-05×40589641000000     		ar = 69940.4338753237m²