Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61768 / 76644
↖ ↑ ↗
← S 29.161756°
W 10.349121°		 ← 266.71 m → S 29.161756°
W 10.346374°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 29.164154°
W 10.349121°		 ← 266.71 m →
71 129 m²		 S 29.164154°
W 10.346374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471256256103516 y=0.584751129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471256256103516 × 217)
    floor (0.471256256103516 × 131072)
    floor (61768.5)     		tx = 61768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584751129150391 × 217)
    floor (0.584751129150391 × 131072)
    floor (76644.5)     		ty = 76644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61768 / 76644 ti = "17/61768/76644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61768/76644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61768 ÷ 217
    61768 ÷ 131072     		x = 0.47125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76644 ÷ 217
    76644 ÷ 131072     		y = 0.584747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.16949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532483080979584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18062624} λ = -0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532483080979584))-π/2
    2×atan(0.587145228950902)-π/2
    2×0.530913838702042-π/2
    1.06182767740408-1.57079632675     		φ = -0.50896865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50896865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.161756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61768 KachelY 76644 -0.18062624 -0.50896865 -10.349121 -29.161756
    Oben rechts KachelX + 1 61769 KachelY 76644 -0.18057830 -0.50896865 -10.346374 -29.161756
    Unten links KachelX 61768 KachelY + 1 76645 -0.18062624 -0.50901051 -10.349121 -29.164154
    Unten rechts KachelX + 1 61769 KachelY + 1 76645 -0.18057830 -0.50901051 -10.346374 -29.164154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50896865--0.50901051) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50896865--0.50901051) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18062624--0.18057830) × cos(-0.50896865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873247524998437 × 6371000     		do = 266.712271525796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18062624--0.18057830) × cos(-0.50901051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873227126823069 × 6371000     		du = 266.706041397989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50896865)-sin(-0.50901051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873247524998437-0.873227126823069)×R²
    abs(-0.18057830--0.18062624)×2.03981753679194e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03981753679194e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03981753679194e-05×40589641000000     		ar = 71128.6809495763m²