Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61767 / 40722
↖ ↑ ↗
← N 56.142489°
W 10.351867°		 ← 170.13 m → N 56.142489°
W 10.349121°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.140959°
W 10.351867°		 ← 170.13 m →
28 951 m²		 N 56.140959°
W 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471248626708984 y=0.310688018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471248626708984 × 217)
    floor (0.471248626708984 × 131072)
    floor (61767.5)     		tx = 61767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310688018798828 × 217)
    floor (0.310688018798828 × 131072)
    floor (40722.5)     		ty = 40722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61767 / 40722 ti = "17/61767/40722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61767/40722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61767 ÷ 217
    61767 ÷ 131072     		x = 0.471244812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40722 ÷ 217
    40722 ÷ 131072     		y = 0.310684204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471244812011719 × 2 - 1) × π
    -0.0575103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18067417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310684204101562 × 2 - 1) × π
    0.378631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18950622717207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18067417} λ = -0.18067417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18950622717207))-π/2
    2×atan(3.28545853664805)-π/2
    2×1.27533380695733-π/2
    2.55066761391467-1.57079632675     		φ = 0.97987129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18067417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.351867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97987129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.142489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61767 KachelY 40722 -0.18067417 0.97987129 -10.351867 56.142489
    Oben rechts KachelX + 1 61768 KachelY 40722 -0.18062624 0.97987129 -10.349121 56.142489
    Unten links KachelX 61767 KachelY + 1 40723 -0.18067417 0.97984458 -10.351867 56.140959
    Unten rechts KachelX + 1 61768 KachelY + 1 40723 -0.18062624 0.97984458 -10.349121 56.140959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97987129-0.97984458) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97987129-0.97984458) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18067417--0.18062624) × cos(0.97987129) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557129435468587 × 6371000     		do = 170.126175387447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18067417--0.18062624) × cos(0.97984458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557151615939475 × 6371000     		du = 170.132948461064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97987129)-sin(0.97984458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557129435468587-0.557151615939475)×R²
    abs(-0.18062624--0.18067417)×2.2180470887978e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2180470887978e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2180470887978e-05×40589641000000     		ar = 28950.8471780654m²