Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61766 / 76998
↖ ↑ ↗
← S 30.007274°
W 10.354614°		 ← 264.49 m → S 30.007274°
W 10.351867°		 →
↑
264.46 m
↓
↑
264.46 m
↓
S 30.009652°
W 10.354614°		 ← 264.48 m →
69 945 m²		 S 30.009652°
W 10.351867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471240997314453 y=0.587451934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471240997314453 × 217)
    floor (0.471240997314453 × 131072)
    floor (61766.5)     		tx = 61766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587451934814453 × 217)
    floor (0.587451934814453 × 131072)
    floor (76998.5)     		ty = 76998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61766 / 76998 ti = "17/61766/76998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61766/76998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61766 ÷ 217
    61766 ÷ 131072     		x = 0.471237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76998 ÷ 217
    76998 ÷ 131072     		y = 0.587448120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18072211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587448120117188 × 2 - 1) × π
    -0.174896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.549452743445084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18072211} λ = -0.18072211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549452743445084))-π/2
    2×atan(0.577265636357111)-π/2
    2×0.523535298647752-π/2
    1.0470705972955-1.57079632675     		φ = -0.52372573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18072211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52372573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.007274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61766 KachelY 76998 -0.18072211 -0.52372573 -10.354614 -30.007274
    Oben rechts KachelX + 1 61767 KachelY 76998 -0.18067417 -0.52372573 -10.351867 -30.007274
    Unten links KachelX 61766 KachelY + 1 76999 -0.18072211 -0.52376724 -10.354614 -30.009652
    Unten rechts KachelX + 1 61767 KachelY + 1 76999 -0.18067417 -0.52376724 -10.351867 -30.009652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52372573--0.52376724) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dl = 264.460209999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52372573--0.52376724) × R
    4.15099999999669e-05 × 6371000     		dr = 264.460209999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(-0.52372573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865961919604711 × 6371000     		do = 264.487060107069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(-0.52376724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865941159294976 × 6371000     		du = 264.480719374106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52372573)-sin(-0.52376724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865961919604711-0.865941159294976)×R²
    abs(-0.18067417--0.18072211)×2.07603097351905e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07603097351905e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07603097351905e-05×40589641000000     		ar = 69945.4650324048m²