Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61766 / 40726
↖ ↑ ↗
← N 56.136368°
W 10.354614°		 ← 170.19 m → N 56.136368°
W 10.351867°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.134838°
W 10.354614°		 ← 170.20 m →
28 961 m²		 N 56.134838°
W 10.351867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471240997314453 y=0.310718536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471240997314453 × 217)
    floor (0.471240997314453 × 131072)
    floor (61766.5)     		tx = 61766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310718536376953 × 217)
    floor (0.310718536376953 × 131072)
    floor (40726.5)     		ty = 40726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61766 / 40726 ti = "17/61766/40726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61766/40726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61766 ÷ 217
    61766 ÷ 131072     		x = 0.471237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40726 ÷ 217
    40726 ÷ 131072     		y = 0.310714721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18072211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310714721679688 × 2 - 1) × π
    0.378570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18931447957359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18072211} λ = -0.18072211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18931447957359))-π/2
    2×atan(3.28482861825834)-π/2
    2×1.27528038858871-π/2
    2.55056077717742-1.57079632675     		φ = 0.97976445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18072211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97976445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.136368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61766 KachelY 40726 -0.18072211 0.97976445 -10.354614 56.136368
    Oben rechts KachelX + 1 61767 KachelY 40726 -0.18067417 0.97976445 -10.351867 56.136368
    Unten links KachelX 61766 KachelY + 1 40727 -0.18072211 0.97973774 -10.354614 56.134838
    Unten rechts KachelX + 1 61767 KachelY + 1 40727 -0.18067417 0.97973774 -10.351867 56.134838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97976445-0.97973774) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97976445-0.97973774) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(0.97976445) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557218154967163 × 6371000     		do = 170.188767322267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(0.97973774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557240333848015 × 6371000     		du = 170.195541323364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97976445)-sin(0.97973774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557218154967163-0.557240333848015)×R²
    abs(-0.18067417--0.18072211)×2.21788808514312e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21788808514312e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21788808514312e-05×40589641000000     		ar = 28961.4984895876m²