Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61766 / 34410
↖ ↑ ↗
← N 64.649760°
W 10.354614°		 ← 130.77 m → N 64.649760°
W 10.351867°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 64.648585°
W 10.354614°		 ← 130.77 m →
17 096 m²		 N 64.648585°
W 10.351867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471240997314453 y=0.262531280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471240997314453 × 217)
    floor (0.471240997314453 × 131072)
    floor (61766.5)     		tx = 61766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262531280517578 × 217)
    floor (0.262531280517578 × 131072)
    floor (34410.5)     		ty = 34410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61766 / 34410 ti = "17/61766/34410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61766/34410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61766 ÷ 217
    61766 ÷ 131072     		x = 0.471237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34410 ÷ 217
    34410 ÷ 131072     		y = 0.262527465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18072211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262527465820312 × 2 - 1) × π
    0.474945068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49208393757387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18072211} λ = -0.18072211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49208393757387))-π/2
    2×atan(4.44635179047067)-π/2
    2×1.34957375354067-π/2
    2.69914750708133-1.57079632675     		φ = 1.12835118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18072211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12835118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.649760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61766 KachelY 34410 -0.18072211 1.12835118 -10.354614 64.649760
    Oben rechts KachelX + 1 61767 KachelY 34410 -0.18067417 1.12835118 -10.351867 64.649760
    Unten links KachelX 61766 KachelY + 1 34411 -0.18072211 1.12833066 -10.354614 64.648585
    Unten rechts KachelX + 1 61767 KachelY + 1 34411 -0.18067417 1.12833066 -10.351867 64.648585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12835118-1.12833066) × R
    2.05199999998573e-05 × 6371000     		dl = 130.732919999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12835118-1.12833066) × R
    2.05199999998573e-05 × 6371000     		dr = 130.732919999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(1.12835118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428150440200456 × 6371000     		do = 130.76816502954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18072211--0.18067417) × cos(1.12833066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428168984187703 × 6371000     		du = 130.773828840567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12835118)-sin(1.12833066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428150440200456-0.428168984187703)×R²
    abs(-0.18067417--0.18072211)×1.85439872469328e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85439872469328e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85439872469328e-05×40589641000000     		ar = 17096.0742811066m²