Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61765 / 77257
↖ ↑ ↗
← S 30.621368°
W 10.357361°		 ← 262.83 m → S 30.621368°
W 10.354614°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.623732°
W 10.357361°		 ← 262.83 m →
69 073 m²		 S 30.623732°
W 10.354614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471233367919922 y=0.589427947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471233367919922 × 217)
    floor (0.471233367919922 × 131072)
    floor (61765.5)     		tx = 61765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589427947998047 × 217)
    floor (0.589427947998047 × 131072)
    floor (77257.5)     		ty = 77257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61765 / 77257 ti = "17/61765/77257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61765/77257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61765 ÷ 217
    61765 ÷ 131072     		x = 0.471229553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77257 ÷ 217
    77257 ÷ 131072     		y = 0.589424133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471229553222656 × 2 - 1) × π
    -0.0575408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18077005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589424133300781 × 2 - 1) × π
    -0.178848266601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.561868400446678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18077005} λ = -0.18077005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561868400446678))-π/2
    2×atan(0.570142812980755)-π/2
    2×0.518176313350785-π/2
    1.03635262670157-1.57079632675     		φ = -0.53444370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18077005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.357361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53444370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.621368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61765 KachelY 77257 -0.18077005 -0.53444370 -10.357361 -30.621368
    Oben rechts KachelX + 1 61766 KachelY 77257 -0.18072211 -0.53444370 -10.354614 -30.621368
    Unten links KachelX 61765 KachelY + 1 77258 -0.18077005 -0.53448495 -10.357361 -30.623732
    Unten rechts KachelX + 1 61766 KachelY + 1 77258 -0.18072211 -0.53448495 -10.354614 -30.623732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53444370--0.53448495) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53444370--0.53448495) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18077005--0.18072211) × cos(-0.53444370) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860552120716831 × 6371000     		do = 262.834768278487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18077005--0.18072211) × cos(-0.53448495) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860531108785979 × 6371000     		du = 262.828350693958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53444370)-sin(-0.53448495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860552120716831-0.860531108785979)×R²
    abs(-0.18072211--0.18077005)×2.10119308520218e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10119308520218e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10119308520218e-05×40589641000000     		ar = 69073.1194609784m²