Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61764 / 76772
↖ ↑ ↗
← S 29.468297°
W 10.360108°		 ← 265.91 m → S 29.468297°
W 10.357361°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
S 29.470688°
W 10.360108°		 ← 265.91 m →
70 712 m²		 S 29.470688°
W 10.357361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471225738525391 y=0.585727691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471225738525391 × 217)
    floor (0.471225738525391 × 131072)
    floor (61764.5)     		tx = 61764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585727691650391 × 217)
    floor (0.585727691650391 × 131072)
    floor (76772.5)     		ty = 76772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61764 / 76772 ti = "17/61764/76772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61764/76772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61764 ÷ 217
    61764 ÷ 131072     		x = 0.471221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76772 ÷ 217
    76772 ÷ 131072     		y = 0.585723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18081799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.17144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538619004130951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18081799} λ = -0.18081799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538619004130951))-π/2
    2×atan(0.583553581253151)-π/2
    2×0.528238762728008-π/2
    1.05647752545602-1.57079632675     		φ = -0.51431880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18081799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.360108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51431880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.468297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61764 KachelY 76772 -0.18081799 -0.51431880 -10.360108 -29.468297
    Oben rechts KachelX + 1 61765 KachelY 76772 -0.18077005 -0.51431880 -10.357361 -29.468297
    Unten links KachelX 61764 KachelY + 1 76773 -0.18081799 -0.51436054 -10.360108 -29.470688
    Unten rechts KachelX + 1 61765 KachelY + 1 76773 -0.18077005 -0.51436054 -10.357361 -29.470688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51431880--0.51436054) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51431880--0.51436054) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18081799--0.18077005) × cos(-0.51431880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870628035088825 × 6371000     		do = 265.912211881884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18081799--0.18077005) × cos(-0.51436054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870607500675868 × 6371000     		du = 265.905940143611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51431880)-sin(-0.51436054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870628035088825-0.870607500675868)×R²
    abs(-0.18077005--0.18081799)×2.05344129573515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05344129573515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05344129573515e-05×40589641000000     		ar = 70712.0146398904m²