Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61763 / 76806
↖ ↑ ↗
← S 29.549567°
W 10.362854°		 ← 265.64 m → S 29.549567°
W 10.360108°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
S 29.551956°
W 10.362854°		 ← 265.64 m →
70 573 m²		 S 29.551956°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471218109130859 y=0.585987091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471218109130859 × 217)
    floor (0.471218109130859 × 131072)
    floor (61763.5)     		tx = 61763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585987091064453 × 217)
    floor (0.585987091064453 × 131072)
    floor (76806.5)     		ty = 76806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61763 / 76806 ti = "17/61763/76806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61763/76806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61763 ÷ 217
    61763 ÷ 131072     		x = 0.471214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76806 ÷ 217
    76806 ÷ 131072     		y = 0.585983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471214294433594 × 2 - 1) × π
    -0.0575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18086592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585983276367188 × 2 - 1) × π
    -0.171966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.540248858718033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18086592} λ = -0.18086592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540248858718033))-π/2
    2×atan(0.582603248434464)-π/2
    2×0.527529548777839-π/2
    1.05505909755568-1.57079632675     		φ = -0.51573723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18086592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51573723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.549567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61763 KachelY 76806 -0.18086592 -0.51573723 -10.362854 -29.549567
    Oben rechts KachelX + 1 61764 KachelY 76806 -0.18081799 -0.51573723 -10.360108 -29.549567
    Unten links KachelX 61763 KachelY + 1 76807 -0.18086592 -0.51577893 -10.362854 -29.551956
    Unten rechts KachelX + 1 61764 KachelY + 1 76807 -0.18081799 -0.51577893 -10.360108 -29.551956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51573723--0.51577893) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51573723--0.51577893) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(-0.51573723) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869929374358653 × 6371000     		do = 265.643399710797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(-0.51577893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.869908808149717 × 6371000     		du = 265.637119571487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51573723)-sin(-0.51577893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869929374358653-0.869908808149717)×R²
    abs(-0.18081799--0.18086592)×2.05662089367564e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05662089367564e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05662089367564e-05×40589641000000     		ar = 70572.8337372134m²