Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61763 / 76483
↖ ↑ ↗
← S 28.774882°
W 10.362854°		 ← 267.66 m → S 28.774882°
W 10.360108°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 28.777289°
W 10.362854°		 ← 267.65 m →
71 636 m²		 S 28.777289°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471218109130859 y=0.583522796630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471218109130859 × 217)
    floor (0.471218109130859 × 131072)
    floor (61763.5)     		tx = 61763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583522796630859 × 217)
    floor (0.583522796630859 × 131072)
    floor (76483.5)     		ty = 76483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61763 / 76483 ti = "17/61763/76483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61763/76483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61763 ÷ 217
    61763 ÷ 131072     		x = 0.471214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76483 ÷ 217
    76483 ÷ 131072     		y = 0.583518981933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471214294433594 × 2 - 1) × π
    -0.0575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18086592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583518981933594 × 2 - 1) × π
    -0.167037963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.524765240140755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18086592} λ = -0.18086592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524765240140755))-π/2
    2×atan(0.591694254123122)-π/2
    2×0.534289950161402-π/2
    1.0685799003228-1.57079632675     		φ = -0.50221643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18086592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50221643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.774882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61763 KachelY 76483 -0.18086592 -0.50221643 -10.362854 -28.774882
    Oben rechts KachelX + 1 61764 KachelY 76483 -0.18081799 -0.50221643 -10.360108 -28.774882
    Unten links KachelX 61763 KachelY + 1 76484 -0.18086592 -0.50225844 -10.362854 -28.777289
    Unten rechts KachelX + 1 61764 KachelY + 1 76484 -0.18081799 -0.50225844 -10.360108 -28.777289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50221643--0.50225844) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dl = 267.645709999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50221643--0.50225844) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dr = 267.645709999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(-0.50221643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.876517794025403 × 6371000     		do = 267.655252914728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(-0.50225844) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.876497570920949 × 6371000     		du = 267.649077546499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50221643)-sin(-0.50225844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876517794025403-0.876497570920949)×R²
    abs(-0.18081799--0.18086592)×2.02231044540424e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.02231044540424e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.02231044540424e-05×40589641000000     		ar = 71635.9538066552m²