Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61763 / 34428
↖ ↑ ↗
← N 64.628585°
W 10.362854°		 ← 130.84 m → N 64.628585°
W 10.360108°		 →
↑
130.86 m
↓
↑
130.86 m
↓
N 64.627408°
W 10.362854°		 ← 130.85 m →
17 123 m²		 N 64.627408°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471218109130859 y=0.262668609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471218109130859 × 217)
    floor (0.471218109130859 × 131072)
    floor (61763.5)     		tx = 61763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262668609619141 × 217)
    floor (0.262668609619141 × 131072)
    floor (34428.5)     		ty = 34428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61763 / 34428 ti = "17/61763/34428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61763/34428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61763 ÷ 217
    61763 ÷ 131072     		x = 0.471214294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34428 ÷ 217
    34428 ÷ 131072     		y = 0.262664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471214294433594 × 2 - 1) × π
    -0.0575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18086592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262664794921875 × 2 - 1) × π
    0.47467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49122107338071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18086592} λ = -0.18086592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49122107338071))-π/2
    2×atan(4.44251684747591)-π/2
    2×1.34938896366485-π/2
    2.69877792732969-1.57079632675     		φ = 1.12798160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18086592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12798160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.628585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61763 KachelY 34428 -0.18086592 1.12798160 -10.362854 64.628585
    Oben rechts KachelX + 1 61764 KachelY 34428 -0.18081799 1.12798160 -10.360108 64.628585
    Unten links KachelX 61763 KachelY + 1 34429 -0.18086592 1.12796106 -10.362854 64.627408
    Unten rechts KachelX + 1 61764 KachelY + 1 34429 -0.18081799 1.12796106 -10.360108 64.627408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12798160-1.12796106) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dl = 130.860339999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12798160-1.12796106) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dr = 130.860339999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(1.12798160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428484403161101 × 6371000     		do = 130.842867172616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18086592--0.18081799) × cos(1.12796106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428502961970819 × 6371000     		du = 130.848534328426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12798160)-sin(1.12796106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428484403161101-0.428502961970819)×R²
    abs(-0.18081799--0.18086592)×1.85588097184608e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85588097184608e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85588097184608e-05×40589641000000     		ar = 17122.5128884746m²