Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61762 / 76225
↖ ↑ ↗
← S 28.151925°
W 10.365601°		 ← 269.29 m → S 28.151925°
W 10.362854°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 28.154347°
W 10.365601°		 ← 269.29 m →
72 521 m²		 S 28.154347°
W 10.362854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471210479736328 y=0.581554412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471210479736328 × 217)
    floor (0.471210479736328 × 131072)
    floor (61762.5)     		tx = 61762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581554412841797 × 217)
    floor (0.581554412841797 × 131072)
    floor (76225.5)     		ty = 76225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61762 / 76225 ti = "17/61762/76225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61762/76225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61762 ÷ 217
    61762 ÷ 131072     		x = 0.471206665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76225 ÷ 217
    76225 ÷ 131072     		y = 0.581550598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471206665039062 × 2 - 1) × π
    -0.057586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18091386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581550598144531 × 2 - 1) × π
    -0.163101196289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.51239752003878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18091386} λ = -0.18091386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51239752003878))-π/2
    2×atan(0.599057603105453)-π/2
    2×0.539726273270165-π/2
    1.07945254654033-1.57079632675     		φ = -0.49134378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18091386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.365601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49134378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.151925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61762 KachelY 76225 -0.18091386 -0.49134378 -10.365601 -28.151925
    Oben rechts KachelX + 1 61763 KachelY 76225 -0.18086592 -0.49134378 -10.362854 -28.151925
    Unten links KachelX 61762 KachelY + 1 76226 -0.18091386 -0.49138605 -10.365601 -28.154347
    Unten rechts KachelX + 1 61763 KachelY + 1 76226 -0.18086592 -0.49138605 -10.362854 -28.154347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49134378--0.49138605) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49134378--0.49138605) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18091386--0.18086592) × cos(-0.49134378) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881699644510629 × 6371000     		do = 269.293766382375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18091386--0.18086592) × cos(-0.49138605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881679700266728 × 6371000     		du = 269.287674896923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49134378)-sin(-0.49138605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881699644510629-0.881679700266728)×R²
    abs(-0.18086592--0.18091386)×1.99442439015041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99442439015041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99442439015041e-05×40589641000000     		ar = 72520.5754399438m²