Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61761 / 76809
↖ ↑ ↗
← S 29.556734°
W 10.368347°		 ← 265.68 m → S 29.556734°
W 10.365601°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
S 29.559124°
W 10.368347°		 ← 265.67 m →
70 583 m²		 S 29.559124°
W 10.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471202850341797 y=0.586009979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471202850341797 × 217)
    floor (0.471202850341797 × 131072)
    floor (61761.5)     		tx = 61761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586009979248047 × 217)
    floor (0.586009979248047 × 131072)
    floor (76809.5)     		ty = 76809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61761 / 76809 ti = "17/61761/76809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61761/76809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61761 ÷ 217
    61761 ÷ 131072     		x = 0.471199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76809 ÷ 217
    76809 ÷ 131072     		y = 0.586006164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471199035644531 × 2 - 1) × π
    -0.0576019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18096180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586006164550781 × 2 - 1) × π
    -0.172012329101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.540392669416893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18096180} λ = -0.18096180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540392669416893))-π/2
    2×atan(0.582519469878419)-π/2
    2×0.52746699842052-π/2
    1.05493399684104-1.57079632675     		φ = -0.51586233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18096180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51586233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.556734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61761 KachelY 76809 -0.18096180 -0.51586233 -10.368347 -29.556734
    Oben rechts KachelX + 1 61762 KachelY 76809 -0.18091386 -0.51586233 -10.365601 -29.556734
    Unten links KachelX 61761 KachelY + 1 76810 -0.18096180 -0.51590403 -10.368347 -29.559124
    Unten rechts KachelX + 1 61762 KachelY + 1 76810 -0.18091386 -0.51590403 -10.365601 -29.559124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51586233--0.51590403) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51586233--0.51590403) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18096180--0.18091386) × cos(-0.51586233) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869867671193851 × 6371000     		do = 265.679977176438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18096180--0.18091386) × cos(-0.51590403) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.869847100446995 × 6371000     		du = 265.673694340857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51586233)-sin(-0.51590403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869867671193851-0.869847100446995)×R²
    abs(-0.18091386--0.18096180)×2.05707468566851e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.05707468566851e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05707468566851e-05×40589641000000     		ar = 70582.5509398081m²