Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61761 / 76227
↖ ↑ ↗
← S 28.156768°
W 10.368347°		 ← 269.28 m → S 28.156768°
W 10.365601°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
S 28.159189°
W 10.368347°		 ← 269.28 m →
72 500 m²		 S 28.159189°
W 10.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471202850341797 y=0.581569671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471202850341797 × 217)
    floor (0.471202850341797 × 131072)
    floor (61761.5)     		tx = 61761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581569671630859 × 217)
    floor (0.581569671630859 × 131072)
    floor (76227.5)     		ty = 76227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61761 / 76227 ti = "17/61761/76227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61761/76227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61761 ÷ 217
    61761 ÷ 131072     		x = 0.471199035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76227 ÷ 217
    76227 ÷ 131072     		y = 0.581565856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471199035644531 × 2 - 1) × π
    -0.0576019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18096180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581565856933594 × 2 - 1) × π
    -0.163131713867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.51249339383802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18096180} λ = -0.18096180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51249339383802))-π/2
    2×atan(0.599000171930197)-π/2
    2×0.539684008278789-π/2
    1.07936801655758-1.57079632675     		φ = -0.49142831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18096180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49142831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.156768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61761 KachelY 76227 -0.18096180 -0.49142831 -10.368347 -28.156768
    Oben rechts KachelX + 1 61762 KachelY 76227 -0.18091386 -0.49142831 -10.365601 -28.156768
    Unten links KachelX 61761 KachelY + 1 76228 -0.18096180 -0.49147057 -10.368347 -28.159189
    Unten rechts KachelX + 1 61762 KachelY + 1 76228 -0.18091386 -0.49147057 -10.365601 -28.159189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49142831--0.49147057) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49142831--0.49147057) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18096180--0.18091386) × cos(-0.49142831) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881659759166339 × 6371000     		do = 269.28158437158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18096180--0.18091386) × cos(-0.49147057) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.881639816491387 × 6371000     		du = 269.275493365325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49142831)-sin(-0.49147057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881659759166339-0.881639816491387)×R²
    abs(-0.18091386--0.18096180)×1.99426749515341e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99426749515341e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99426749515341e-05×40589641000000     		ar = 72500.1391268321m²