Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61760 / 40896
↖ ↑ ↗
← N 55.875311°
W 10.371094°		 ← 171.31 m → N 55.875311°
W 10.368347°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
N 55.873770°
W 10.371094°		 ← 171.31 m →
29 348 m²		 N 55.873770°
W 10.368347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471195220947266 y=0.312015533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471195220947266 × 217)
    floor (0.471195220947266 × 131072)
    floor (61760.5)     		tx = 61760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312015533447266 × 217)
    floor (0.312015533447266 × 131072)
    floor (40896.5)     		ty = 40896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61760 / 40896 ti = "17/61760/40896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61760/40896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61760 ÷ 217
    61760 ÷ 131072     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40896 ÷ 217
    40896 ÷ 131072     		y = 0.31201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31201171875 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18116520663818))-π/2
    2×atan(3.25816843141486)-π/2
    2×1.27300223571707-π/2
    2.54600447143413-1.57079632675     		φ = 0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61760 KachelY 40896 -0.18100973 0.97520814 -10.371094 55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 61761 KachelY 40896 -0.18096180 0.97520814 -10.368347 55.875311
    Unten links KachelX 61760 KachelY + 1 40897 -0.18100973 0.97518125 -10.371094 55.873770
    Unten rechts KachelX + 1 61761 KachelY + 1 40897 -0.18096180 0.97518125 -10.368347 55.873770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97520814-0.97518125) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97520814-0.97518125) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18096180) × cos(0.97520814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 171.306805171109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18096180) × cos(0.97518125) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561018023365309 × 6371000     		du = 171.313602481424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97520814)-sin(0.97518125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.561018023365309)×R²
    abs(-0.18096180--0.18100973)×2.22598412605857e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22598412605857e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22598412605857e-05×40589641000000     		ar = 29348.2114294567m²