Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61758 / 77373
↖ ↑ ↗
← S 30.895155°
W 10.376587°		 ← 262.09 m → S 30.895155°
W 10.373840°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
S 30.897511°
W 10.376587°		 ← 262.08 m →
68 677 m²		 S 30.897511°
W 10.373840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471179962158203 y=0.590312957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471179962158203 × 217)
    floor (0.471179962158203 × 131072)
    floor (61758.5)     		tx = 61758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590312957763672 × 217)
    floor (0.590312957763672 × 131072)
    floor (77373.5)     		ty = 77373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61758 / 77373 ti = "17/61758/77373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61758/77373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61758 ÷ 217
    61758 ÷ 131072     		x = 0.471176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77373 ÷ 217
    77373 ÷ 131072     		y = 0.590309143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.057647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18110561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590309143066406 × 2 - 1) × π
    -0.180618286132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.567429080802605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18110561} λ = -0.18110561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567429080802605))-π/2
    2×atan(0.566981229464866)-π/2
    2×0.515787080057592-π/2
    1.03157416011518-1.57079632675     		φ = -0.53922217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18110561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53922217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.895155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61758 KachelY 77373 -0.18110561 -0.53922217 -10.376587 -30.895155
    Oben rechts KachelX + 1 61759 KachelY 77373 -0.18105767 -0.53922217 -10.373840 -30.895155
    Unten links KachelX 61758 KachelY + 1 77374 -0.18110561 -0.53926330 -10.376587 -30.897511
    Unten rechts KachelX + 1 61759 KachelY + 1 77374 -0.18105767 -0.53926330 -10.373840 -30.897511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53922217--0.53926330) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dl = 262.039230000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53922217--0.53926330) × R
    4.11300000000558e-05 × 6371000     		dr = 262.039230000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18110561--0.18105767) × cos(-0.53922217) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858108332256657 × 6371000     		do = 262.088372379635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18110561--0.18105767) × cos(-0.53926330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858087212563842 × 6371000     		du = 262.081921881829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53922217)-sin(-0.53926330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858108332256657-0.858087212563842)×R²
    abs(-0.18105767--0.18110561)×2.11196928145974e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11196928145974e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11196928145974e-05×40589641000000     		ar = 68676.5901584707m²