Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61758 / 77029
↖ ↑ ↗
← S 30.080978°
W 10.376587°		 ← 264.29 m → S 30.080978°
W 10.373840°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
S 30.083355°
W 10.376587°		 ← 264.28 m →
69 843 m²		 S 30.083355°
W 10.373840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471179962158203 y=0.587688446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471179962158203 × 217)
    floor (0.471179962158203 × 131072)
    floor (61758.5)     		tx = 61758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587688446044922 × 217)
    floor (0.587688446044922 × 131072)
    floor (77029.5)     		ty = 77029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61758 / 77029 ti = "17/61758/77029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61758/77029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61758 ÷ 217
    61758 ÷ 131072     		x = 0.471176147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77029 ÷ 217
    77029 ÷ 131072     		y = 0.587684631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.057647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18110561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587684631347656 × 2 - 1) × π
    -0.175369262695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.550938787333305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18110561} λ = -0.18110561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550938787333305))-π/2
    2×atan(0.57640843136619)-π/2
    2×0.522892109150124-π/2
    1.04578421830025-1.57079632675     		φ = -0.52501211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18110561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52501211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.080978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61758 KachelY 77029 -0.18110561 -0.52501211 -10.376587 -30.080978
    Oben rechts KachelX + 1 61759 KachelY 77029 -0.18105767 -0.52501211 -10.373840 -30.080978
    Unten links KachelX 61758 KachelY + 1 77030 -0.18110561 -0.52505359 -10.376587 -30.083355
    Unten rechts KachelX + 1 61759 KachelY + 1 77030 -0.18105767 -0.52505359 -10.373840 -30.083355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52501211--0.52505359) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52501211--0.52505359) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18110561--0.18105767) × cos(-0.52501211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865317871870004 × 6371000     		do = 264.290351351101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18110561--0.18105767) × cos(-0.52505359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.865297080375477 × 6371000     		du = 264.284001093499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52501211)-sin(-0.52505359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865317871870004-0.865297080375477)×R²
    abs(-0.18105767--0.18110561)×2.07914945271614e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07914945271614e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07914945271614e-05×40589641000000     		ar = 69842.9289259632m²