Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61756 / 77252
↖ ↑ ↗
← S 30.609550°
W 10.382080°		 ← 262.87 m → S 30.609550°
W 10.379333°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.611913°
W 10.382080°		 ← 262.86 m →
69 082 m²		 S 30.611913°
W 10.379333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471164703369141 y=0.589389801025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471164703369141 × 217)
    floor (0.471164703369141 × 131072)
    floor (61756.5)     		tx = 61756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589389801025391 × 217)
    floor (0.589389801025391 × 131072)
    floor (77252.5)     		ty = 77252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61756 / 77252 ti = "17/61756/77252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61756/77252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61756 ÷ 217
    61756 ÷ 131072     		x = 0.471160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77252 ÷ 217
    77252 ÷ 131072     		y = 0.589385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.05767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18120148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.561628715948578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18120148} λ = -0.18120148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561628715948578))-π/2
    2×atan(0.570279483753009)-π/2
    2×0.518279450147285-π/2
    1.03655890029457-1.57079632675     		φ = -0.53423743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18120148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.382080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53423743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.609550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61756 KachelY 77252 -0.18120148 -0.53423743 -10.382080 -30.609550
    Oben rechts KachelX + 1 61757 KachelY 77252 -0.18115354 -0.53423743 -10.379333 -30.609550
    Unten links KachelX 61756 KachelY + 1 77253 -0.18120148 -0.53427868 -10.382080 -30.611913
    Unten rechts KachelX + 1 61757 KachelY + 1 77253 -0.18115354 -0.53427868 -10.379333 -30.611913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53423743--0.53427868) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53423743--0.53427868) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18120148--0.18115354) × cos(-0.53423743) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860657168589826 × 6371000     		do = 262.866852602832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18120148--0.18115354) × cos(-0.53427868) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860636163981458 × 6371000     		du = 262.860437254778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53423743)-sin(-0.53427868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860657168589826-0.860636163981458)×R²
    abs(-0.18115354--0.18120148)×2.10046083684023e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10046083684023e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10046083684023e-05×40589641000000     		ar = 69081.5516357905m²