Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61754 / 76770
↖ ↑ ↗
← S 29.463514°
W 10.387573°		 ← 265.87 m → S 29.463514°
W 10.384827°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
S 29.465906°
W 10.387573°		 ← 265.86 m →
70 701 m²		 S 29.465906°
W 10.384827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471149444580078 y=0.585712432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471149444580078 × 217)
    floor (0.471149444580078 × 131072)
    floor (61754.5)     		tx = 61754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585712432861328 × 217)
    floor (0.585712432861328 × 131072)
    floor (76770.5)     		ty = 76770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61754 / 76770 ti = "17/61754/76770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61754/76770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61754 ÷ 217
    61754 ÷ 131072     		x = 0.471145629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76770 ÷ 217
    76770 ÷ 131072     		y = 0.585708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471145629882812 × 2 - 1) × π
    -0.057708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18129735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585708618164062 × 2 - 1) × π
    -0.171417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.538523130331711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18129735} λ = -0.18129735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538523130331711))-π/2
    2×atan(0.583609531434081)-π/2
    2×0.528280498920875-π/2
    1.05656099784175-1.57079632675     		φ = -0.51423533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18129735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.387573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51423533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.463514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61754 KachelY 76770 -0.18129735 -0.51423533 -10.387573 -29.463514
    Oben rechts KachelX + 1 61755 KachelY 76770 -0.18124942 -0.51423533 -10.384827 -29.463514
    Unten links KachelX 61754 KachelY + 1 76771 -0.18129735 -0.51427707 -10.387573 -29.465906
    Unten rechts KachelX + 1 61755 KachelY + 1 76771 -0.18124942 -0.51427707 -10.384827 -29.465906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51423533--0.51427707) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51423533--0.51427707) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18129735--0.18124942) × cos(-0.51423533) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870669094445516 × 6371000     		do = 265.869282138153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18129735--0.18124942) × cos(-0.51427707) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870648563065895 × 6371000     		du = 265.863012634393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51423533)-sin(-0.51427707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870669094445516-0.870648563065895)×R²
    abs(-0.18124942--0.18129735)×2.05313796205475e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05313796205475e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05313796205475e-05×40589641000000     		ar = 70700.5988217439m²