Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61753 / 76165
↖ ↑ ↗
← S 28.006527°
W 10.390320°		 ← 269.66 m → S 28.006527°
W 10.387573°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 28.008952°
W 10.390320°		 ← 269.65 m →
72 722 m²		 S 28.008952°
W 10.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471141815185547 y=0.581096649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471141815185547 × 217)
    floor (0.471141815185547 × 131072)
    floor (61753.5)     		tx = 61753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581096649169922 × 217)
    floor (0.581096649169922 × 131072)
    floor (76165.5)     		ty = 76165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61753 / 76165 ti = "17/61753/76165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61753/76165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61753 ÷ 217
    61753 ÷ 131072     		x = 0.471138000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76165 ÷ 217
    76165 ÷ 131072     		y = 0.581092834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471138000488281 × 2 - 1) × π
    -0.0577239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18134529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581092834472656 × 2 - 1) × π
    -0.162185668945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.509521306061577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18134529} λ = -0.18134529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509521306061577))-π/2
    2×atan(0.600783101218019)-π/2
    2×0.54099511106075-π/2
    1.0819902221215-1.57079632675     		φ = -0.48880610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18134529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.390320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48880610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.006527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61753 KachelY 76165 -0.18134529 -0.48880610 -10.390320 -28.006527
    Oben rechts KachelX + 1 61754 KachelY 76165 -0.18129735 -0.48880610 -10.387573 -28.006527
    Unten links KachelX 61753 KachelY + 1 76166 -0.18134529 -0.48884843 -10.390320 -28.008952
    Unten rechts KachelX + 1 61754 KachelY + 1 76166 -0.18129735 -0.48884843 -10.387573 -28.008952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48880610--0.48884843) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48880610--0.48884843) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18134529--0.18129735) × cos(-0.48880610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882894109887203 × 6371000     		do = 269.658586853919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18134529--0.18129735) × cos(-0.48884843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		du = 269.652515668406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48880610)-sin(-0.48884843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882894109887203-0.882874232107702)×R²
    abs(-0.18129735--0.18134529)×1.98777795004101e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98777795004101e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98777795004101e-05×40589641000000     		ar = 72721.9036490438m²