Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61748 / 34321
↖ ↑ ↗
← N 64.754219°
W 10.404053°		 ← 130.26 m → N 64.754219°
W 10.401306°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 64.753047°
W 10.404053°		 ← 130.27 m →
16 972 m²		 N 64.753047°
W 10.401306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471103668212891 y=0.261852264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471103668212891 × 217)
    floor (0.471103668212891 × 131072)
    floor (61748.5)     		tx = 61748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261852264404297 × 217)
    floor (0.261852264404297 × 131072)
    floor (34321.5)     		ty = 34321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61748 / 34321 ti = "17/61748/34321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61748/34321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61748 ÷ 217
    61748 ÷ 131072     		x = 0.471099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34321 ÷ 217
    34321 ÷ 131072     		y = 0.261848449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18158498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261848449707031 × 2 - 1) × π
    0.476303100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.49635032164005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18158498} λ = -0.18158498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49635032164005))-π/2
    2×atan(4.46536215883292)-π/2
    2×1.35048532170811-π/2
    2.70097064341622-1.57079632675     		φ = 1.13017432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18158498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13017432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.754219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61748 KachelY 34321 -0.18158498 1.13017432 -10.404053 64.754219
    Oben rechts KachelX + 1 61749 KachelY 34321 -0.18153704 1.13017432 -10.401306 64.754219
    Unten links KachelX 61748 KachelY + 1 34322 -0.18158498 1.13015387 -10.404053 64.753047
    Unten rechts KachelX + 1 61749 KachelY + 1 34322 -0.18153704 1.13015387 -10.401306 64.753047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13017432-1.13015387) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13017432-1.13015387) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18158498--0.18153704) × cos(1.13017432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426502144315549 × 6371000     		do = 130.264733039153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18158498--0.18153704) × cos(1.13015387) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		du = 130.270382395461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13017432)-sin(1.13015387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426502144315549-0.426520640976333)×R²
    abs(-0.18153704--0.18158498)×1.84966607840731e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84966607840731e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84966607840731e-05×40589641000000     		ar = 16972.1627794399m²