Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61747 / 77355
↖ ↑ ↗
← S 30.852721°
W 10.406799°		 ← 262.15 m → S 30.852721°
W 10.404053°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.855079°
W 10.406799°		 ← 262.14 m →
68 726 m²		 S 30.855079°
W 10.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471096038818359 y=0.590175628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471096038818359 × 217)
    floor (0.471096038818359 × 131072)
    floor (61747.5)     		tx = 61747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590175628662109 × 217)
    floor (0.590175628662109 × 131072)
    floor (77355.5)     		ty = 77355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61747 / 77355 ti = "17/61747/77355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61747/77355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61747 ÷ 217
    61747 ÷ 131072     		x = 0.471092224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77355 ÷ 217
    77355 ÷ 131072     		y = 0.590171813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471092224121094 × 2 - 1) × π
    -0.0578155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18163291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590171813964844 × 2 - 1) × π
    -0.180343627929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.566566216609444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18163291} λ = -0.18163291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566566216609444))-π/2
    2×atan(0.567470668395262)-π/2
    2×0.516157377526149-π/2
    1.0323147550523-1.57079632675     		φ = -0.53848157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18163291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.406799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53848157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.852721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61747 KachelY 77355 -0.18163291 -0.53848157 -10.406799 -30.852721
    Oben rechts KachelX + 1 61748 KachelY 77355 -0.18158498 -0.53848157 -10.404053 -30.852721
    Unten links KachelX 61747 KachelY + 1 77356 -0.18163291 -0.53852272 -10.406799 -30.855079
    Unten rechts KachelX + 1 61748 KachelY + 1 77356 -0.18158498 -0.53852272 -10.404053 -30.855079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53848157--0.53852272) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dl = 262.166650000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53848157--0.53852272) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dr = 262.166650000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18163291--0.18158498) × cos(-0.53848157) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.858488371798537 × 6371000     		do = 262.149751943805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18163291--0.18158498) × cos(-0.53852272) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.858467267992557 × 6371000     		du = 262.14330764277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53848157)-sin(-0.53852272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858488371798537-0.858467267992557)×R²
    abs(-0.18158498--0.18163291)×2.11038059803048e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11038059803048e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11038059803048e-05×40589641000000     		ar = 68726.0775348578m²