Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61747 / 40690
↖ ↑ ↗
← N 56.191425°
W 10.406799°		 ← 169.91 m → N 56.191425°
W 10.404053°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.189896°
W 10.406799°		 ← 169.92 m →
28 871 m²		 N 56.189896°
W 10.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471096038818359 y=0.310443878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471096038818359 × 217)
    floor (0.471096038818359 × 131072)
    floor (61747.5)     		tx = 61747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310443878173828 × 217)
    floor (0.310443878173828 × 131072)
    floor (40690.5)     		ty = 40690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61747 / 40690 ti = "17/61747/40690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61747/40690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61747 ÷ 217
    61747 ÷ 131072     		x = 0.471092224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40690 ÷ 217
    40690 ÷ 131072     		y = 0.310440063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471092224121094 × 2 - 1) × π
    -0.0578155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18163291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310440063476562 × 2 - 1) × π
    0.379119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19104020795992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18163291} λ = -0.18163291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19104020795992))-π/2
    2×atan(3.29050223440122)-π/2
    2×1.27576084778015-π/2
    2.55152169556031-1.57079632675     		φ = 0.98072537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18163291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.406799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98072537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.191425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61747 KachelY 40690 -0.18163291 0.98072537 -10.406799 56.191425
    Oben rechts KachelX + 1 61748 KachelY 40690 -0.18158498 0.98072537 -10.404053 56.191425
    Unten links KachelX 61747 KachelY + 1 40691 -0.18163291 0.98069870 -10.406799 56.189896
    Unten rechts KachelX + 1 61748 KachelY + 1 40691 -0.18158498 0.98069870 -10.404053 56.189896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98072537-0.98069870) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98072537-0.98069870) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18163291--0.18158498) × cos(0.98072537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556419982399471 × 6371000     		do = 169.909535358072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18163291--0.18158498) × cos(0.98069870) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556442142336569 × 6371000     		du = 169.916302161449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98072537)-sin(0.98069870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556419982399471-0.556442142336569)×R²
    abs(-0.18158498--0.18163291)×2.21599370979764e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21599370979764e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21599370979764e-05×40589641000000     		ar = 28870.6805302678m²