Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61746 / 40682
↖ ↑ ↗
← N 56.203649°
W 10.409546°		 ← 169.89 m → N 56.203649°
W 10.406799°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.202121°
W 10.409546°		 ← 169.90 m →
28 868 m²		 N 56.202121°
W 10.406799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471088409423828 y=0.310382843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471088409423828 × 217)
    floor (0.471088409423828 × 131072)
    floor (61746.5)     		tx = 61746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310382843017578 × 217)
    floor (0.310382843017578 × 131072)
    floor (40682.5)     		ty = 40682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61746 / 40682 ti = "17/61746/40682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61746/40682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61746 ÷ 217
    61746 ÷ 131072     		x = 0.471084594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40682 ÷ 217
    40682 ÷ 131072     		y = 0.310379028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471084594726562 × 2 - 1) × π
    -0.057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18168085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310379028320312 × 2 - 1) × π
    0.379241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19142370315688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18168085} λ = -0.18168085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19142370315688))-π/2
    2×atan(3.29176436819936)-π/2
    2×1.27586752297816-π/2
    2.55173504595633-1.57079632675     		φ = 0.98093872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18168085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.409546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98093872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.203649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61746 KachelY 40682 -0.18168085 0.98093872 -10.409546 56.203649
    Oben rechts KachelX + 1 61747 KachelY 40682 -0.18163291 0.98093872 -10.406799 56.203649
    Unten links KachelX 61746 KachelY + 1 40683 -0.18168085 0.98091205 -10.409546 56.202121
    Unten rechts KachelX + 1 61747 KachelY + 1 40683 -0.18163291 0.98091205 -10.406799 56.202121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98093872-0.98091205) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98093872-0.98091205) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18168085--0.18163291) × cos(0.98093872) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556242696966296 × 6371000     		do = 169.890837340514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18168085--0.18163291) × cos(0.98091205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556264860069008 × 6371000     		du = 169.89760652256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98093872)-sin(0.98091205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556242696966296-0.556264860069008)×R²
    abs(-0.18163291--0.18168085)×2.21631027113034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21631027113034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21631027113034e-05×40589641000000     		ar = 28867.5036667044m²