Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61746 / 34322
↖ ↑ ↗
← N 64.753047°
W 10.409546°		 ← 130.27 m → N 64.753047°
W 10.406799°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 64.751875°
W 10.409546°		 ← 130.28 m →
16 973 m²		 N 64.751875°
W 10.406799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471088409423828 y=0.261859893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471088409423828 × 217)
    floor (0.471088409423828 × 131072)
    floor (61746.5)     		tx = 61746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261859893798828 × 217)
    floor (0.261859893798828 × 131072)
    floor (34322.5)     		ty = 34322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61746 / 34322 ti = "17/61746/34322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61746/34322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61746 ÷ 217
    61746 ÷ 131072     		x = 0.471084594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34322 ÷ 217
    34322 ÷ 131072     		y = 0.261856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471084594726562 × 2 - 1) × π
    -0.057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18168085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261856079101562 × 2 - 1) × π
    0.476287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49630238474043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18168085} λ = -0.18168085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49630238474043))-π/2
    2×atan(4.46514810834584)-π/2
    2×1.35047509889118-π/2
    2.70095019778235-1.57079632675     		φ = 1.13015387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18168085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.409546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13015387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.753047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61746 KachelY 34322 -0.18168085 1.13015387 -10.409546 64.753047
    Oben rechts KachelX + 1 61747 KachelY 34322 -0.18163291 1.13015387 -10.406799 64.753047
    Unten links KachelX 61746 KachelY + 1 34323 -0.18168085 1.13013342 -10.409546 64.751875
    Unten rechts KachelX + 1 61747 KachelY + 1 34323 -0.18163291 1.13013342 -10.406799 64.751875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13015387-1.13013342) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13015387-1.13013342) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18168085--0.18163291) × cos(1.13015387) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		do = 130.270382395461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18168085--0.18163291) × cos(1.13013342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426539137458745 × 6371000     		du = 130.276031697289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13015387)-sin(1.13013342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426520640976333-0.426539137458745)×R²
    abs(-0.18163291--0.18168085)×1.84964824120892e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84964824120892e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84964824120892e-05×40589641000000     		ar = 16972.898813476m²