Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61745 / 77353
↖ ↑ ↗
← S 30.848005°
W 10.412293°		 ← 262.22 m → S 30.848005°
W 10.409546°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 30.850364°
W 10.412293°		 ← 262.21 m →
68 761 m²		 S 30.850364°
W 10.409546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471080780029297 y=0.590160369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471080780029297 × 217)
    floor (0.471080780029297 × 131072)
    floor (61745.5)     		tx = 61745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590160369873047 × 217)
    floor (0.590160369873047 × 131072)
    floor (77353.5)     		ty = 77353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61745 / 77353 ti = "17/61745/77353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61745/77353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61745 ÷ 217
    61745 ÷ 131072     		x = 0.471076965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77353 ÷ 217
    77353 ÷ 131072     		y = 0.590156555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471076965332031 × 2 - 1) × π
    -0.0578460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18172879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590156555175781 × 2 - 1) × π
    -0.180313110351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.566470342810204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18172879} λ = -0.18172879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566470342810204))-π/2
    2×atan(0.567525076572316)-π/2
    2×0.516198531808677-π/2
    1.03239706361735-1.57079632675     		φ = -0.53839926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18172879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.412293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53839926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.848005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61745 KachelY 77353 -0.18172879 -0.53839926 -10.412293 -30.848005
    Oben rechts KachelX + 1 61746 KachelY 77353 -0.18168085 -0.53839926 -10.409546 -30.848005
    Unten links KachelX 61745 KachelY + 1 77354 -0.18172879 -0.53844042 -10.412293 -30.850364
    Unten rechts KachelX + 1 61746 KachelY + 1 77354 -0.18168085 -0.53844042 -10.409546 -30.850364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53839926--0.53844042) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53839926--0.53844042) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18172879--0.18168085) × cos(-0.53839926) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858530580176993 × 6371000     		do = 262.217337763167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18172879--0.18168085) × cos(-0.53844042) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85850947415082 × 6371000     		du = 262.210891439505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53839926)-sin(-0.53844042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858530580176993-0.85850947415082)×R²
    abs(-0.18168085--0.18172879)×2.11060261728901e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11060261728901e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11060261728901e-05×40589641000000     		ar = 68760.5016787748m²