Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61745 / 40817
↖ ↑ ↗
← N 55.996845°
W 10.412293°		 ← 170.81 m → N 55.996845°
W 10.409546°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 55.995309°
W 10.412293°		 ← 170.81 m →
29 175 m²		 N 55.995309°
W 10.409546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471080780029297 y=0.311412811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471080780029297 × 217)
    floor (0.471080780029297 × 131072)
    floor (61745.5)     		tx = 61745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311412811279297 × 217)
    floor (0.311412811279297 × 131072)
    floor (40817.5)     		ty = 40817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61745 / 40817 ti = "17/61745/40817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61745/40817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61745 ÷ 217
    61745 ÷ 131072     		x = 0.471076965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40817 ÷ 217
    40817 ÷ 131072     		y = 0.311408996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471076965332031 × 2 - 1) × π
    -0.0578460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18172879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311408996582031 × 2 - 1) × π
    0.377182006835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.18495222170817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18172879} λ = -0.18172879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18495222170817))-π/2
    2×atan(3.27053055736955)-π/2
    2×1.27406282130166-π/2
    2.54812564260333-1.57079632675     		φ = 0.97732932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18172879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.412293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97732932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.996845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61745 KachelY 40817 -0.18172879 0.97732932 -10.412293 55.996845
    Oben rechts KachelX + 1 61746 KachelY 40817 -0.18168085 0.97732932 -10.409546 55.996845
    Unten links KachelX 61745 KachelY + 1 40818 -0.18172879 0.97730251 -10.412293 55.995309
    Unten rechts KachelX + 1 61746 KachelY + 1 40818 -0.18168085 0.97730251 -10.409546 55.995309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97732932-0.97730251) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dl = 170.806509999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97732932-0.97730251) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dr = 170.806509999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18172879--0.18168085) × cos(0.97732932) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559238550357698 × 6371000     		do = 170.805848079514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18172879--0.18168085) × cos(0.97730251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559260775828524 × 6371000     		du = 170.812636310388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97732932)-sin(0.97730251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559238550357698-0.559260775828524)×R²
    abs(-0.18168085--0.18172879)×2.22254708259761e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22254708259761e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22254708259761e-05×40589641000000     		ar = 29175.3305366469m²