Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61744 / 76694
↖ ↑ ↗
← S 29.281607°
W 10.415039°		 ← 266.34 m → S 29.281607°
W 10.412293°		 →
↑
266.44 m
↓
↑
266.44 m
↓
S 29.284004°
W 10.415039°		 ← 266.34 m →
70 963 m²		 S 29.284004°
W 10.412293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471073150634766 y=0.585132598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471073150634766 × 217)
    floor (0.471073150634766 × 131072)
    floor (61744.5)     		tx = 61744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585132598876953 × 217)
    floor (0.585132598876953 × 131072)
    floor (76694.5)     		ty = 76694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61744 / 76694 ti = "17/61744/76694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61744/76694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61744 ÷ 217
    61744 ÷ 131072     		x = 0.4710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76694 ÷ 217
    76694 ÷ 131072     		y = 0.585128784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18177672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585128784179688 × 2 - 1) × π
    -0.170257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.534879925960587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18177672} λ = -0.18177672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534879925960587))-π/2
    2×atan(0.585739618044415)-π/2
    2×0.529867930882342-π/2
    1.05973586176468-1.57079632675     		φ = -0.51106046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18177672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51106046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.281607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61744 KachelY 76694 -0.18177672 -0.51106046 -10.415039 -29.281607
    Oben rechts KachelX + 1 61745 KachelY 76694 -0.18172879 -0.51106046 -10.412293 -29.281607
    Unten links KachelX 61744 KachelY + 1 76695 -0.18177672 -0.51110228 -10.415039 -29.284004
    Unten rechts KachelX + 1 61745 KachelY + 1 76695 -0.18172879 -0.51110228 -10.412293 -29.284004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51106046--0.51110228) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dl = 266.43521999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51106046--0.51110228) × R
    4.18199999999702e-05 × 6371000     		dr = 266.43521999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18177672--0.18172879) × cos(-0.51106046) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872226324566092 × 6371000     		do = 266.344801088949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18177672--0.18172879) × cos(-0.51110228) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.872205869537541 × 6371000     		du = 266.338554899907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51106046)-sin(-0.51110228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872226324566092-0.872205869537541)×R²
    abs(-0.18172879--0.18177672)×2.04550285506366e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.04550285506366e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.04550285506366e-05×40589641000000     		ar = 70962.8035819986m²