Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61743 / 40736
↖ ↑ ↗
← N 56.121060°
W 10.417786°		 ← 170.26 m → N 56.121060°
W 10.415039°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.119529°
W 10.417786°		 ← 170.26 m →
28 984 m²		 N 56.119529°
W 10.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471065521240234 y=0.310794830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471065521240234 × 217)
    floor (0.471065521240234 × 131072)
    floor (61743.5)     		tx = 61743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310794830322266 × 217)
    floor (0.310794830322266 × 131072)
    floor (40736.5)     		ty = 40736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61743 / 40736 ti = "17/61743/40736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61743/40736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61743 ÷ 217
    61743 ÷ 131072     		x = 0.471061706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40736 ÷ 217
    40736 ÷ 131072     		y = 0.310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471061706542969 × 2 - 1) × π
    -0.0578765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18182466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310791015625 × 2 - 1) × π
    0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18182466} λ = -0.18182466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18883511057739))-π/2
    2×atan(3.28325435061861)-π/2
    2×1.27514680545183-π/2
    2.55029361090366-1.57079632675     		φ = 0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18182466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.417786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61743 KachelY 40736 -0.18182466 0.97949728 -10.417786 56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 61744 KachelY 40736 -0.18177672 0.97949728 -10.415039 56.121060
    Unten links KachelX 61743 KachelY + 1 40737 -0.18182466 0.97947056 -10.417786 56.119529
    Unten rechts KachelX + 1 61744 KachelY + 1 40737 -0.18177672 0.97947056 -10.415039 56.119529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97949728-0.97947056) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dl = 170.233120000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97949728-0.97947056) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dr = 170.233120000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18182466--0.18177672) × cos(0.97949728) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 170.25651961856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18182466--0.18177672) × cos(0.97947056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557462167204931 × 6371000     		du = 170.263294940557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97949728)-sin(0.97947056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.557462167204931)×R²
    abs(-0.18177672--0.18182466)×2.21832056339633e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21832056339633e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21832056339633e-05×40589641000000     		ar = 28983.8752288765m²