Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61741 / 34462
↖ ↑ ↗
← N 64.588542°
W 10.423279°		 ← 131.04 m → N 64.588542°
W 10.420532°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
N 64.587364°
W 10.423279°		 ← 131.04 m →
17 173 m²		 N 64.587364°
W 10.420532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471050262451172 y=0.262928009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471050262451172 × 217)
    floor (0.471050262451172 × 131072)
    floor (61741.5)     		tx = 61741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262928009033203 × 217)
    floor (0.262928009033203 × 131072)
    floor (34462.5)     		ty = 34462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61741 / 34462 ti = "17/61741/34462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61741/34462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61741 ÷ 217
    61741 ÷ 131072     		x = 0.471046447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34462 ÷ 217
    34462 ÷ 131072     		y = 0.262924194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471046447753906 × 2 - 1) × π
    -0.0579071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18192053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262924194335938 × 2 - 1) × π
    0.474151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48959121879362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18192053} λ = -0.18192053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48959121879362))-π/2
    2×atan(4.43528208841803)-π/2
    2×1.34903952281913-π/2
    2.69807904563825-1.57079632675     		φ = 1.12728272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18192053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.423279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12728272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.588542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61741 KachelY 34462 -0.18192053 1.12728272 -10.423279 64.588542
    Oben rechts KachelX + 1 61742 KachelY 34462 -0.18187260 1.12728272 -10.420532 64.588542
    Unten links KachelX 61741 KachelY + 1 34463 -0.18192053 1.12726215 -10.423279 64.587364
    Unten rechts KachelX + 1 61742 KachelY + 1 34463 -0.18187260 1.12726215 -10.420532 64.587364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12728272-1.12726215) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12728272-1.12726215) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18192053--0.18187260) × cos(1.12728272) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429115770915889 × 6371000     		do = 131.035662911895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18192053--0.18187260) × cos(1.12726215) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429134350667271 × 6371000     		du = 131.041336462494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12728272)-sin(1.12726215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429115770915889-0.429134350667271)×R²
    abs(-0.18187260--0.18192053)×1.85797513821973e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85797513821973e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85797513821973e-05×40589641000000     		ar = 17172.7880110612m²