Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61740 / 77045
↖ ↑ ↗
← S 30.118997°
W 10.426025°		 ← 264.19 m → S 30.118997°
W 10.423279°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 30.121373°
W 10.426025°		 ← 264.18 m →
69 799 m²		 S 30.121373°
W 10.423279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471042633056641 y=0.587810516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471042633056641 × 217)
    floor (0.471042633056641 × 131072)
    floor (61740.5)     		tx = 61740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587810516357422 × 217)
    floor (0.587810516357422 × 131072)
    floor (77045.5)     		ty = 77045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61740 / 77045 ti = "17/61740/77045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61740/77045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61740 ÷ 217
    61740 ÷ 131072     		x = 0.471038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77045 ÷ 217
    77045 ÷ 131072     		y = 0.587806701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18196847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587806701660156 × 2 - 1) × π
    -0.175613403320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.551705777727226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18196847} λ = -0.18196847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551705777727226))-π/2
    2×atan(0.575966501136142)-π/2
    2×0.522560327704537-π/2
    1.04512065540907-1.57079632675     		φ = -0.52567567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18196847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52567567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.118997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61740 KachelY 77045 -0.18196847 -0.52567567 -10.426025 -30.118997
    Oben rechts KachelX + 1 61741 KachelY 77045 -0.18192053 -0.52567567 -10.423279 -30.118997
    Unten links KachelX 61740 KachelY + 1 77046 -0.18196847 -0.52571714 -10.426025 -30.121373
    Unten rechts KachelX + 1 61741 KachelY + 1 77046 -0.18192053 -0.52571714 -10.423279 -30.121373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52567567--0.52571714) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52567567--0.52571714) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(-0.52567567) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864985089534701 × 6371000     		do = 264.188711060082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(-0.52571714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864964279245959 × 6371000     		du = 264.182355062243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52567567)-sin(-0.52571714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864985089534701-0.864964279245959)×R²
    abs(-0.18192053--0.18196847)×2.08102887423456e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08102887423456e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08102887423456e-05×40589641000000     		ar = 69799.2365209329m²