Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61740 / 40963
↖ ↑ ↗
← N 55.771939°
W 10.426025°		 ← 171.80 m → N 55.771939°
W 10.423279°		 →
↑
171.83 m
↓
↑
171.83 m
↓
N 55.770393°
W 10.426025°		 ← 171.81 m →
29 520 m²		 N 55.770393°
W 10.423279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471042633056641 y=0.312526702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471042633056641 × 217)
    floor (0.471042633056641 × 131072)
    floor (61740.5)     		tx = 61740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312526702880859 × 217)
    floor (0.312526702880859 × 131072)
    floor (40963.5)     		ty = 40963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61740 / 40963 ti = "17/61740/40963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61740/40963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61740 ÷ 217
    61740 ÷ 131072     		x = 0.471038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40963 ÷ 217
    40963 ÷ 131072     		y = 0.312522888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18196847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312522888183594 × 2 - 1) × π
    0.374954223632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.17795343436364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18196847} λ = -0.18196847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17795343436364))-π/2
    2×atan(3.24772072319194)-π/2
    2×1.27210014219599-π/2
    2.54420028439197-1.57079632675     		φ = 0.97340396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18196847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97340396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.771939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61740 KachelY 40963 -0.18196847 0.97340396 -10.426025 55.771939
    Oben rechts KachelX + 1 61741 KachelY 40963 -0.18192053 0.97340396 -10.423279 55.771939
    Unten links KachelX 61740 KachelY + 1 40964 -0.18196847 0.97337699 -10.426025 55.770393
    Unten rechts KachelX + 1 61741 KachelY + 1 40964 -0.18192053 0.97337699 -10.423279 55.770393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97340396-0.97337699) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dl = 171.825869999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97340396-0.97337699) × R
    2.69699999999595e-05 × 6371000     		dr = 171.825869999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(0.97340396) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562488383566277 × 6371000     		do = 171.798430792121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(0.97337699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562510682297614 × 6371000     		du = 171.80524139864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97340396)-sin(0.97337699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562488383566277-0.562510682297614)×R²
    abs(-0.18192053--0.18196847)×2.22987313369671e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22987313369671e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22987313369671e-05×40589641000000     		ar = 29519.9999564494m²