Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61740 / 40814
↖ ↑ ↗
← N 56.001453°
W 10.426025°		 ← 170.79 m → N 56.001453°
W 10.423279°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
N 55.999917°
W 10.426025°		 ← 170.79 m →
29 172 m²		 N 55.999917°
W 10.423279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471042633056641 y=0.311389923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471042633056641 × 217)
    floor (0.471042633056641 × 131072)
    floor (61740.5)     		tx = 61740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311389923095703 × 217)
    floor (0.311389923095703 × 131072)
    floor (40814.5)     		ty = 40814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61740 / 40814 ti = "17/61740/40814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61740/40814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61740 ÷ 217
    61740 ÷ 131072     		x = 0.471038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40814 ÷ 217
    40814 ÷ 131072     		y = 0.311386108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18196847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311386108398438 × 2 - 1) × π
    0.377227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18509603240703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18196847} λ = -0.18196847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18509603240703))-π/2
    2×atan(3.27100092847604)-π/2
    2×1.27410303114829-π/2
    2.54820606229658-1.57079632675     		φ = 0.97740974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18196847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97740974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.001453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61740 KachelY 40814 -0.18196847 0.97740974 -10.426025 56.001453
    Oben rechts KachelX + 1 61741 KachelY 40814 -0.18192053 0.97740974 -10.423279 56.001453
    Unten links KachelX 61740 KachelY + 1 40815 -0.18196847 0.97738293 -10.426025 55.999917
    Unten rechts KachelX + 1 61741 KachelY + 1 40815 -0.18192053 0.97738293 -10.423279 55.999917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97740974-0.97738293) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dl = 170.806510000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97740974-0.97738293) × R
    2.68100000000437e-05 × 6371000     		dr = 170.806510000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(0.97740974) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559171879823998 × 6371000     		do = 170.785485182422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18196847--0.18192053) × cos(0.97738293) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559194106500528 × 6371000     		du = 170.792273781549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97740974)-sin(0.97738293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559171879823998-0.559194106500528)×R²
    abs(-0.18192053--0.18196847)×2.22266765301793e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22266765301793e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22266765301793e-05×40589641000000     		ar = 29171.8524528651m²