Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6174 / 10087
↖ ↑ ↗
← S 38.393339°
W 44.340820°		 ← 1 914.96 m → S 38.393339°
W 44.318848°		 →
↑
1 914.74 m
↓
↑
1 914.74 m
↓
S 38.410558°
W 44.340820°		 ← 1 914.50 m →
3 666 210 m²		 S 38.410558°
W 44.318848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376861572265625 y=0.615692138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376861572265625 × 214)
    floor (0.376861572265625 × 16384)
    floor (6174.5)     		tx = 6174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615692138671875 × 214)
    floor (0.615692138671875 × 16384)
    floor (10087.5)     		ty = 10087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6174 / 10087 ti = "14/6174/10087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6174/10087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6174 ÷ 214
    6174 ÷ 16384     		x = 0.3768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10087 ÷ 214
    10087 ÷ 16384     		y = 0.61566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.2313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.726723398240051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77389331} λ = -0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726723398240051))-π/2
    2×atan(0.483490603679169)-π/2
    2×0.450353076187986-π/2
    0.900706152375972-1.57079632675     		φ = -0.67009017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67009017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.393339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6174 KachelY 10087 -0.77389331 -0.67009017 -44.340820 -38.393339
    Oben rechts KachelX + 1 6175 KachelY 10087 -0.77350981 -0.67009017 -44.318848 -38.393339
    Unten links KachelX 6174 KachelY + 1 10088 -0.77389331 -0.67039071 -44.340820 -38.410558
    Unten rechts KachelX + 1 6175 KachelY + 1 10088 -0.77350981 -0.67039071 -44.318848 -38.410558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67009017--0.67039071) × R
    0.000300539999999905 × 6371000     		dl = 1914.74033999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67009017--0.67039071) × R
    0.000300539999999905 × 6371000     		dr = 1914.74033999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77389331--0.77350981) × cos(-0.67009017) × R
    0.000383499999999981 × 0.783765668387993 × 6371000     		do = 1914.95780661042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77389331--0.77350981) × cos(-0.67039071) × R
    0.000383499999999981 × 0.783578980625153 × 6371000     		du = 1914.50167641326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67009017)-sin(-0.67039071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783765668387993-0.783578980625153)×R²
    abs(-0.77350981--0.77389331)×0.000186687762840032×R²
    0.000383499999999981×0.000186687762840032×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186687762840032×40589641000000     		ar = 3666210.3038649m²