Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61739 / 77046
↖ ↑ ↗
← S 30.121373°
W 10.428772°		 ← 264.18 m → S 30.121373°
W 10.426025°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
S 30.123749°
W 10.428772°		 ← 264.18 m →
69 781 m²		 S 30.123749°
W 10.426025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471035003662109 y=0.587818145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471035003662109 × 217)
    floor (0.471035003662109 × 131072)
    floor (61739.5)     		tx = 61739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587818145751953 × 217)
    floor (0.587818145751953 × 131072)
    floor (77046.5)     		ty = 77046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61739 / 77046 ti = "17/61739/77046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61739/77046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61739 ÷ 217
    61739 ÷ 131072     		x = 0.471031188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77046 ÷ 217
    77046 ÷ 131072     		y = 0.587814331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471031188964844 × 2 - 1) × π
    -0.0579376220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18201641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.175628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551753714626846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18201641} λ = -0.18201641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551753714626846))-π/2
    2×atan(0.575938891749552)-π/2
    2×0.522539595602207-π/2
    1.04507919120441-1.57079632675     		φ = -0.52571714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18201641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.428772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52571714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.121373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61739 KachelY 77046 -0.18201641 -0.52571714 -10.428772 -30.121373
    Oben rechts KachelX + 1 61740 KachelY 77046 -0.18196847 -0.52571714 -10.426025 -30.121373
    Unten links KachelX 61739 KachelY + 1 77047 -0.18201641 -0.52575860 -10.428772 -30.123749
    Unten rechts KachelX + 1 61740 KachelY + 1 77047 -0.18196847 -0.52575860 -10.426025 -30.123749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52571714--0.52575860) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dl = 264.141659999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52571714--0.52575860) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dr = 264.141659999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18201641--0.18196847) × cos(-0.52571714) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864964279245959 × 6371000     		do = 264.182355062243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18201641--0.18196847) × cos(-0.52575860) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.864943472488378 × 6371000     		du = 264.176000142912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52571714)-sin(-0.52575860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864964279245959-0.864943472488378)×R²
    abs(-0.18196847--0.18201641)×2.08067575809823e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.08067575809823e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.08067575809823e-05×40589641000000     		ar = 69780.7265193726m²