Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61738 / 76188
↖ ↑ ↗
← S 28.062286°
W 10.431518°		 ← 269.46 m → S 28.062286°
W 10.428772°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
S 28.064710°
W 10.431518°		 ← 269.46 m →
72 618 m²		 S 28.064710°
W 10.428772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471027374267578 y=0.581272125244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471027374267578 × 217)
    floor (0.471027374267578 × 131072)
    floor (61738.5)     		tx = 61738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581272125244141 × 217)
    floor (0.581272125244141 × 131072)
    floor (76188.5)     		ty = 76188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61738 / 76188 ti = "17/61738/76188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61738/76188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61738 ÷ 217
    61738 ÷ 131072     		x = 0.471023559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76188 ÷ 217
    76188 ÷ 131072     		y = 0.581268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.057952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18206434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.16253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.510623854752838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18206434} λ = -0.18206434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510623854752838))-π/2
    2×atan(0.600121073621933)-π/2
    2×0.540508520237372-π/2
    1.08101704047474-1.57079632675     		φ = -0.48977929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18206434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48977929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.062286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61738 KachelY 76188 -0.18206434 -0.48977929 -10.431518 -28.062286
    Oben rechts KachelX + 1 61739 KachelY 76188 -0.18201641 -0.48977929 -10.428772 -28.062286
    Unten links KachelX 61738 KachelY + 1 76189 -0.18206434 -0.48982159 -10.431518 -28.064710
    Unten rechts KachelX + 1 61739 KachelY + 1 76189 -0.18201641 -0.48982159 -10.428772 -28.064710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48977929--0.48982159) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48977929--0.48982159) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18206434--0.18201641) × cos(-0.48977929) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		do = 269.462664794113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18206434--0.18201641) × cos(-0.48982159) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.882416808932001 × 6371000     		du = 269.456588081607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48977929)-sin(-0.48982159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882436708958559-0.882416808932001)×R²
    abs(-0.18201641--0.18206434)×1.99000265577176e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.99000265577176e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.99000265577176e-05×40589641000000     		ar = 72617.5639563815m²