Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61737 / 34342
↖ ↑ ↗
← N 64.729607°
W 10.434265°		 ← 130.38 m → N 64.729607°
W 10.431518°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
N 64.728435°
W 10.434265°		 ← 130.39 m →
16 996 m²		 N 64.728435°
W 10.431518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471019744873047 y=0.262012481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471019744873047 × 217)
    floor (0.471019744873047 × 131072)
    floor (61737.5)     		tx = 61737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262012481689453 × 217)
    floor (0.262012481689453 × 131072)
    floor (34342.5)     		ty = 34342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61737 / 34342 ti = "17/61737/34342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61737/34342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61737 ÷ 217
    61737 ÷ 131072     		x = 0.471015930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34342 ÷ 217
    34342 ÷ 131072     		y = 0.262008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471015930175781 × 2 - 1) × π
    -0.0579681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18211228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262008666992188 × 2 - 1) × π
    0.475982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49534364674803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18211228} λ = -0.18211228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49534364674803))-π/2
    2×atan(4.46086925269117)-π/2
    2×1.35027054945033-π/2
    2.70054109890067-1.57079632675     		φ = 1.12974477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18211228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.434265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12974477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.729607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61737 KachelY 34342 -0.18211228 1.12974477 -10.434265 64.729607
    Oben rechts KachelX + 1 61738 KachelY 34342 -0.18206434 1.12974477 -10.431518 64.729607
    Unten links KachelX 61737 KachelY + 1 34343 -0.18211228 1.12972431 -10.434265 64.728435
    Unten rechts KachelX + 1 61738 KachelY + 1 34343 -0.18206434 1.12972431 -10.431518 64.728435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12974477-1.12972431) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12974477-1.12972431) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18211228--0.18206434) × cos(1.12974477) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426890627153934 × 6371000     		do = 130.383385697545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18211228--0.18206434) × cos(1.12972431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426909129109354 × 6371000     		du = 130.38903667097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12974477)-sin(1.12972431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426890627153934-0.426909129109354)×R²
    abs(-0.18206434--0.18211228)×1.8501955420025e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8501955420025e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8501955420025e-05×40589641000000     		ar = 16995.9286832773m²