Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61736 / 40984
↖ ↑ ↗
← N 55.739482°
W 10.437012°		 ← 171.94 m → N 55.739482°
W 10.434265°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
N 55.737935°
W 10.437012°		 ← 171.95 m →
29 566 m²		 N 55.737935°
W 10.434265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471012115478516 y=0.312686920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471012115478516 × 217)
    floor (0.471012115478516 × 131072)
    floor (61736.5)     		tx = 61736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312686920166016 × 217)
    floor (0.312686920166016 × 131072)
    floor (40984.5)     		ty = 40984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61736 / 40984 ti = "17/61736/40984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61736/40984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61736 ÷ 217
    61736 ÷ 131072     		x = 0.47100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40984 ÷ 217
    40984 ÷ 131072     		y = 0.31268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.0579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18216022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31268310546875 × 2 - 1) × π
    0.3746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17694675947162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18216022} λ = -0.18216022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17694675947162))-π/2
    2×atan(3.24445296934244)-π/2
    2×1.27181690288664-π/2
    2.54363380577328-1.57079632675     		φ = 0.97283748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18216022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97283748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.739482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61736 KachelY 40984 -0.18216022 0.97283748 -10.437012 55.739482
    Oben rechts KachelX + 1 61737 KachelY 40984 -0.18211228 0.97283748 -10.434265 55.739482
    Unten links KachelX 61736 KachelY + 1 40985 -0.18216022 0.97281049 -10.437012 55.737935
    Unten rechts KachelX + 1 61737 KachelY + 1 40985 -0.18211228 0.97281049 -10.434265 55.737935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97283748-0.97281049) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dl = 171.953290000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97283748-0.97281049) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dr = 171.953290000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18216022--0.18211228) × cos(0.97283748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562956661892793 × 6371000     		do = 171.941455046622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18216022--0.18211228) × cos(0.97281049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562978968556128 × 6371000     		du = 171.948268075779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97283748)-sin(0.97281049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562956661892793-0.562978968556128)×R²
    abs(-0.18211228--0.18216022)×2.23066633356916e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23066633356916e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23066633356916e-05×40589641000000     		ar = 29566.484646002m²