Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61733 / 76266
↖ ↑ ↗
← S 28.251167°
W 10.445252°		 ← 269.04 m → S 28.251167°
W 10.442505°		 →
↑
269.05 m
↓
↑
269.05 m
↓
S 28.253587°
W 10.445252°		 ← 269.04 m →
72 385 m²		 S 28.253587°
W 10.442505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470989227294922 y=0.581867218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470989227294922 × 217)
    floor (0.470989227294922 × 131072)
    floor (61733.5)     		tx = 61733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581867218017578 × 217)
    floor (0.581867218017578 × 131072)
    floor (76266.5)     		ty = 76266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61733 / 76266 ti = "17/61733/76266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61733/76266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61733 ÷ 217
    61733 ÷ 131072     		x = 0.470985412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76266 ÷ 217
    76266 ÷ 131072     		y = 0.581863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470985412597656 × 2 - 1) × π
    -0.0580291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18230403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581863403320312 × 2 - 1) × π
    -0.163726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514362932923203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18230403} λ = -0.18230403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514362932923203))-π/2
    2×atan(0.597881363850328)-π/2
    2×0.538860223390551-π/2
    1.0777204467811-1.57079632675     		φ = -0.49307588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18230403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.445252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49307588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.251167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61733 KachelY 76266 -0.18230403 -0.49307588 -10.445252 -28.251167
    Oben rechts KachelX + 1 61734 KachelY 76266 -0.18225609 -0.49307588 -10.442505 -28.251167
    Unten links KachelX 61733 KachelY + 1 76267 -0.18230403 -0.49311811 -10.445252 -28.253587
    Unten rechts KachelX + 1 61734 KachelY + 1 76267 -0.18225609 -0.49311811 -10.442505 -28.253587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49307588--0.49311811) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dl = 269.04732999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49307588--0.49311811) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dr = 269.04732999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18230403--0.18225609) × cos(-0.49307588) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880881098246866 × 6371000     		do = 269.043761284041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18230403--0.18225609) × cos(-0.49311811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880861108414234 × 6371000     		du = 269.037655874617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49307588)-sin(-0.49311811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880881098246866-0.880861108414234)×R²
    abs(-0.18225609--0.18230403)×1.99898326319614e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.99898326319614e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.99898326319614e-05×40589641000000     		ar = 72384.6843153767m²