Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61732 / 76167
↖ ↑ ↗
← S 28.011377°
W 10.447998°		 ← 269.65 m → S 28.011377°
W 10.445252°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 28.013801°
W 10.447998°		 ← 269.64 m →
72 701 m²		 S 28.013801°
W 10.445252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470981597900391 y=0.581111907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470981597900391 × 217)
    floor (0.470981597900391 × 131072)
    floor (61732.5)     		tx = 61732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581111907958984 × 217)
    floor (0.581111907958984 × 131072)
    floor (76167.5)     		ty = 76167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61732 / 76167 ti = "17/61732/76167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61732/76167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61732 ÷ 217
    61732 ÷ 131072     		x = 0.470977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76167 ÷ 217
    76167 ÷ 131072     		y = 0.581108093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.05804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18235197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581108093261719 × 2 - 1) × π
    -0.162216186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.509617179860817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18235197} λ = -0.18235197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509617179860817))-π/2
    2×atan(0.600725504620633)-π/2
    2×0.540952788807259-π/2
    1.08190557761452-1.57079632675     		φ = -0.48889075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18235197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48889075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.011377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61732 KachelY 76167 -0.18235197 -0.48889075 -10.447998 -28.011377
    Oben rechts KachelX + 1 61733 KachelY 76167 -0.18230403 -0.48889075 -10.445252 -28.011377
    Unten links KachelX 61732 KachelY + 1 76168 -0.18235197 -0.48893307 -10.447998 -28.013801
    Unten rechts KachelX + 1 61733 KachelY + 1 76168 -0.18230403 -0.48893307 -10.445252 -28.013801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48889075--0.48893307) × R
    4.23200000000401e-05 × 6371000     		dl = 269.620720000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48889075--0.48893307) × R
    4.23200000000401e-05 × 6371000     		dr = 269.620720000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18235197--0.18230403) × cos(-0.48889075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882854357442711 × 6371000     		do = 269.646445434144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18235197--0.18230403) × cos(-0.48893307) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882834481196543 × 6371000     		du = 269.64037471695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48889075)-sin(-0.48893307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882854357442711-0.882834481196543)×R²
    abs(-0.18230403--0.18235197)×1.98762461678381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98762461678381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98762461678381e-05×40589641000000     		ar = 72701.450378722m²