Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61731 / 77279
↖ ↑ ↗
← S 30.673353°
W 10.450744°		 ← 262.64 m → S 30.673353°
W 10.447998°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 30.675715°
W 10.450744°		 ← 262.63 m →
68 988 m²		 S 30.675715°
W 10.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470973968505859 y=0.589595794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470973968505859 × 217)
    floor (0.470973968505859 × 131072)
    floor (61731.5)     		tx = 61731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589595794677734 × 217)
    floor (0.589595794677734 × 131072)
    floor (77279.5)     		ty = 77279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61731 / 77279 ti = "17/61731/77279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61731/77279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61731 ÷ 217
    61731 ÷ 131072     		x = 0.470970153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77279 ÷ 217
    77279 ÷ 131072     		y = 0.589591979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470970153808594 × 2 - 1) × π
    -0.0580596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18239990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589591979980469 × 2 - 1) × π
    -0.179183959960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.562923012238319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18239990} λ = -0.18239990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562923012238319))-π/2
    2×atan(0.569541850593975)-π/2
    2×0.517722661063444-π/2
    1.03544532212689-1.57079632675     		φ = -0.53535100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18239990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.450744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53535100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.673353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61731 KachelY 77279 -0.18239990 -0.53535100 -10.450744 -30.673353
    Oben rechts KachelX + 1 61732 KachelY 77279 -0.18235197 -0.53535100 -10.447998 -30.673353
    Unten links KachelX 61731 KachelY + 1 77280 -0.18239990 -0.53539223 -10.450744 -30.675715
    Unten rechts KachelX + 1 61732 KachelY + 1 77280 -0.18235197 -0.53539223 -10.447998 -30.675715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53535100--0.53539223) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53535100--0.53539223) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18239990--0.18235197) × cos(-0.53535100) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.860089622080614 × 6371000     		do = 262.638712980478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18239990--0.18235197) × cos(-0.53539223) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.860068588155245 × 6371000     		du = 262.632290018328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53535100)-sin(-0.53539223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860089622080614-0.860068588155245)×R²
    abs(-0.18235197--0.18239990)×2.10339253685632e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.10339253685632e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.10339253685632e-05×40589641000000     		ar = 68988.1296714513m²