Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6173 / 10086
↖ ↑ ↗
← S 38.376116°
W 44.362793°		 ← 1 915.36 m → S 38.376116°
W 44.340820°		 →
↑
1 915.12 m
↓
↑
1 915.12 m
↓
S 38.393339°
W 44.362793°		 ← 1 914.91 m →
3 667 720 m²		 S 38.393339°
W 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376800537109375 y=0.615631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376800537109375 × 214)
    floor (0.376800537109375 × 16384)
    floor (6173.5)     		tx = 6173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615631103515625 × 214)
    floor (0.615631103515625 × 16384)
    floor (10086.5)     		ty = 10086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6173 / 10086 ti = "14/6173/10086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6173/10086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6173 ÷ 214
    6173 ÷ 16384     		x = 0.37677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10086 ÷ 214
    10086 ÷ 16384     		y = 0.6156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.726339903043091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77427680} λ = -0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.726339903043091))-π/2
    2×atan(0.483676055561136)-π/2
    2×0.450503379268182-π/2
    0.901006758536363-1.57079632675     		φ = -0.66978957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66978957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.376116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6173 KachelY 10086 -0.77427680 -0.66978957 -44.362793 -38.376116
    Oben rechts KachelX + 1 6174 KachelY 10086 -0.77389331 -0.66978957 -44.340820 -38.376116
    Unten links KachelX 6173 KachelY + 1 10087 -0.77427680 -0.67009017 -44.362793 -38.393339
    Unten rechts KachelX + 1 6174 KachelY + 1 10087 -0.77389331 -0.67009017 -44.340820 -38.393339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66978957--0.67009017) × R
    0.000300600000000095 × 6371000     		dl = 1915.12260000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66978957--0.67009017) × R
    0.000300600000000095 × 6371000     		dr = 1915.12260000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77427680--0.77389331) × cos(-0.66978957) × R
    0.000383490000000042 × 0.783952322607018 × 6371000     		do = 1915.36390924853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77427680--0.77389331) × cos(-0.67009017) × R
    0.000383490000000042 × 0.783765668387993 × 6371000     		du = 1914.90787289999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66978957)-sin(-0.67009017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.783952322607018-0.783765668387993)×R²
    abs(-0.77389331--0.77427680)×0.000186654219025195×R²
    0.000383490000000042×0.000186654219025195×6371000²
    0.000383490000000042×0.000186654219025195×40589641000000     		ar = 3667720.05468802m²