Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61729 / 40809
↖ ↑ ↗
← N 56.009131°
W 10.456238°		 ← 170.75 m → N 56.009131°
W 10.453491°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
N 56.007596°
W 10.456238°		 ← 170.76 m →
29 155 m²		 N 56.007596°
W 10.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470958709716797 y=0.311351776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470958709716797 × 217)
    floor (0.470958709716797 × 131072)
    floor (61729.5)     		tx = 61729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311351776123047 × 217)
    floor (0.311351776123047 × 131072)
    floor (40809.5)     		ty = 40809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61729 / 40809 ti = "17/61729/40809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61729/40809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61729 ÷ 217
    61729 ÷ 131072     		x = 0.470954895019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40809 ÷ 217
    40809 ÷ 131072     		y = 0.311347961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470954895019531 × 2 - 1) × π
    -0.0580902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18249578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311347961425781 × 2 - 1) × π
    0.377304077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.18533571690513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18249578} λ = -0.18249578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18533571690513))-π/2
    2×atan(3.27178503065668)-π/2
    2×1.27417003690661-π/2
    2.54834007381323-1.57079632675     		φ = 0.97754375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18249578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.456238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97754375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.009131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61729 KachelY 40809 -0.18249578 0.97754375 -10.456238 56.009131
    Oben rechts KachelX + 1 61730 KachelY 40809 -0.18244784 0.97754375 -10.453491 56.009131
    Unten links KachelX 61729 KachelY + 1 40810 -0.18249578 0.97751695 -10.456238 56.007596
    Unten rechts KachelX + 1 61730 KachelY + 1 40810 -0.18244784 0.97751695 -10.453491 56.007596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97754375-0.97751695) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dl = 170.742799999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97754375-0.97751695) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dr = 170.742799999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18249578--0.18244784) × cos(0.97754375) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559060773577944 × 6371000     		do = 170.751550475003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18249578--0.18244784) × cos(0.97751695) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559082993972194 × 6371000     		du = 170.75833715536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97754375)-sin(0.97751695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559060773577944-0.559082993972194)×R²
    abs(-0.18244784--0.18249578)×2.22203942507049e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22203942507049e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22203942507049e-05×40589641000000     		ar = 29155.1772225902m²