Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61728 / 78111
↖ ↑ ↗
← S 32.618557°
W 10.458984°		 ← 257.20 m → S 32.618557°
W 10.456238°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.620870°
W 10.458984°		 ← 257.19 m →
66 167 m²		 S 32.620870°
W 10.456238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470951080322266 y=0.595943450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470951080322266 × 217)
    floor (0.470951080322266 × 131072)
    floor (61728.5)     		tx = 61728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595943450927734 × 217)
    floor (0.595943450927734 × 131072)
    floor (78111.5)     		ty = 78111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61728 / 78111 ti = "17/61728/78111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61728/78111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61728 ÷ 217
    61728 ÷ 131072     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78111 ÷ 217
    78111 ÷ 131072     		y = 0.595939636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595939636230469 × 2 - 1) × π
    -0.191879272460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.602806512722206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602806512722206))-π/2
    2×atan(0.547273548595863)-π/2
    2×0.500747556457333-π/2
    1.00149511291467-1.57079632675     		φ = -0.56930121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56930121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.618557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61728 KachelY 78111 -0.18254371 -0.56930121 -10.458984 -32.618557
    Oben rechts KachelX + 1 61729 KachelY 78111 -0.18249578 -0.56930121 -10.456238 -32.618557
    Unten links KachelX 61728 KachelY + 1 78112 -0.18254371 -0.56934159 -10.458984 -32.620870
    Unten rechts KachelX + 1 61729 KachelY + 1 78112 -0.18249578 -0.56934159 -10.456238 -32.620870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56930121--0.56934159) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56930121--0.56934159) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18249578) × cos(-0.56930121) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.842277859057658 × 6371000     		do = 257.199676865909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18249578) × cos(-0.56934159) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.842256091790206 × 6371000     		du = 257.193029968932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56930121)-sin(-0.56934159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842277859057658-0.842256091790206)×R²
    abs(-0.18249578--0.18254371)×2.17672674515113e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17672674515113e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17672674515113e-05×40589641000000     		ar = 66166.5859416373m²