Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61722 / 40717
↖ ↑ ↗
← N 56.150140°
W 10.475464°		 ← 170.13 m → N 56.150140°
W 10.472717°		 →
↑
170.11 m
↓
↑
170.11 m
↓
N 56.148610°
W 10.475464°		 ← 170.13 m →
28 940 m²		 N 56.148610°
W 10.472717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470905303955078 y=0.310649871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470905303955078 × 217)
    floor (0.470905303955078 × 131072)
    floor (61722.5)     		tx = 61722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310649871826172 × 217)
    floor (0.310649871826172 × 131072)
    floor (40717.5)     		ty = 40717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61722 / 40717 ti = "17/61722/40717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61722/40717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61722 ÷ 217
    61722 ÷ 131072     		x = 0.470901489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40717 ÷ 217
    40717 ÷ 131072     		y = 0.310646057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470901489257812 × 2 - 1) × π
    -0.058197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18283134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310646057128906 × 2 - 1) × π
    0.378707885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18974591167017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18283134} λ = -0.18283134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18974591167017))-π/2
    2×atan(3.28624610450857)-π/2
    2×1.2754005679577-π/2
    2.5508011359154-1.57079632675     		φ = 0.98000481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18283134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98000481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.150140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61722 KachelY 40717 -0.18283134 0.98000481 -10.475464 56.150140
    Oben rechts KachelX + 1 61723 KachelY 40717 -0.18278340 0.98000481 -10.472717 56.150140
    Unten links KachelX 61722 KachelY + 1 40718 -0.18283134 0.97997811 -10.475464 56.148610
    Unten rechts KachelX + 1 61723 KachelY + 1 40718 -0.18278340 0.97997811 -10.472717 56.148610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98000481-0.97997811) × R
    2.66999999999351e-05 × 6371000     		dl = 170.105699999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98000481-0.97997811) × R
    2.66999999999351e-05 × 6371000     		dr = 170.105699999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18283134--0.18278340) × cos(0.98000481) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557018552067422 × 6371000     		do = 170.127803458908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18283134--0.18278340) × cos(0.97997811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557040726220201 × 6371000     		du = 170.134576015929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98000481)-sin(0.97997811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557018552067422-0.557040726220201)×R²
    abs(-0.18278340--0.18283134)×2.21741527793862e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21741527793862e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21741527793862e-05×40589641000000     		ar = 28940.2851238275m²