Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61721 / 40707
↖ ↑ ↗
← N 56.165435°
W 10.478210°		 ← 170.02 m → N 56.165435°
W 10.475464°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.163906°
W 10.478210°		 ← 170.03 m →
28 912 m²		 N 56.163906°
W 10.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470897674560547 y=0.310573577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470897674560547 × 217)
    floor (0.470897674560547 × 131072)
    floor (61721.5)     		tx = 61721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310573577880859 × 217)
    floor (0.310573577880859 × 131072)
    floor (40707.5)     		ty = 40707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61721 / 40707 ti = "17/61721/40707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61721/40707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61721 ÷ 217
    61721 ÷ 131072     		x = 0.470893859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40707 ÷ 217
    40707 ÷ 131072     		y = 0.310569763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470893859863281 × 2 - 1) × π
    -0.0582122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18287927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310569763183594 × 2 - 1) × π
    0.378860473632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.19022528066637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18287927} λ = -0.18287927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19022528066637))-π/2
    2×atan(3.28782180664616)-π/2
    2×1.27553405009592-π/2
    2.55106810019185-1.57079632675     		φ = 0.98027177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18287927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.478210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98027177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.165435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61721 KachelY 40707 -0.18287927 0.98027177 -10.478210 56.165435
    Oben rechts KachelX + 1 61722 KachelY 40707 -0.18283134 0.98027177 -10.475464 56.165435
    Unten links KachelX 61721 KachelY + 1 40708 -0.18287927 0.98024508 -10.478210 56.163906
    Unten rechts KachelX + 1 61722 KachelY + 1 40708 -0.18283134 0.98024508 -10.475464 56.163906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98027177-0.98024508) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98027177-0.98024508) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18287927--0.18283134) × cos(0.98027177) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556796821928072 × 6371000     		do = 170.02460784151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18287927--0.18283134) × cos(0.98024508) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556818991744136 × 6371000     		du = 170.031377661548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98027177)-sin(0.98024508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556796821928072-0.556818991744136)×R²
    abs(-0.18283134--0.18287927)×2.21698160643991e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21698160643991e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21698160643991e-05×40589641000000     		ar = 28911.8982447964m²