Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61720 / 40712
↖ ↑ ↗
← N 56.157788°
W 10.480957°		 ← 170.09 m → N 56.157788°
W 10.478210°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.156259°
W 10.480957°		 ← 170.10 m →
28 924 m²		 N 56.156259°
W 10.478210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470890045166016 y=0.310611724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470890045166016 × 217)
    floor (0.470890045166016 × 131072)
    floor (61720.5)     		tx = 61720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310611724853516 × 217)
    floor (0.310611724853516 × 131072)
    floor (40712.5)     		ty = 40712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61720 / 40712 ti = "17/61720/40712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61720/40712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61720 ÷ 217
    61720 ÷ 131072     		x = 0.47088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40712 ÷ 217
    40712 ÷ 131072     		y = 0.31060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31060791015625 × 2 - 1) × π
    0.3787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18998559616827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18292721} λ = -0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18998559616827))-π/2
    2×atan(3.28703386115952)-π/2
    2×1.27546731567008-π/2
    2.55093463134016-1.57079632675     		φ = 0.98013830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98013830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.157788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61720 KachelY 40712 -0.18292721 0.98013830 -10.480957 56.157788
    Oben rechts KachelX + 1 61721 KachelY 40712 -0.18287927 0.98013830 -10.478210 56.157788
    Unten links KachelX 61720 KachelY + 1 40713 -0.18292721 0.98011161 -10.480957 56.156259
    Unten rechts KachelX + 1 61721 KachelY + 1 40713 -0.18287927 0.98011161 -10.478210 56.156259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98013830-0.98011161) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98013830-0.98011161) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18292721--0.18287927) × cos(0.98013830) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55690768365319 × 6371000     		do = 170.093941391448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18292721--0.18287927) × cos(0.98011161) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556929851485532 × 6371000     		du = 170.100712018046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98013830)-sin(0.98011161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55690768365319-0.556929851485532)×R²
    abs(-0.18287927--0.18292721)×2.21678323422125e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21678323422125e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21678323422125e-05×40589641000000     		ar = 28923.6879283026m²