Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61720 / 40393
↖ ↑ ↗
← N 56.642637°
W 10.480957°		 ← 167.94 m → N 56.642637°
W 10.478210°		 →
↑
167.94 m
↓
↑
167.94 m
↓
N 56.641127°
W 10.480957°		 ← 167.95 m →
28 205 m²		 N 56.641127°
W 10.478210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470890045166016 y=0.308177947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470890045166016 × 217)
    floor (0.470890045166016 × 131072)
    floor (61720.5)     		tx = 61720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308177947998047 × 217)
    floor (0.308177947998047 × 131072)
    floor (40393.5)     		ty = 40393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61720 / 40393 ti = "17/61720/40393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61720/40393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61720 ÷ 217
    61720 ÷ 131072     		x = 0.47088623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40393 ÷ 217
    40393 ÷ 131072     		y = 0.308174133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308174133300781 × 2 - 1) × π
    0.383651733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20527746714707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18292721} λ = -0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20527746714707))-π/2
    2×atan(3.33768504754639)-π/2
    2×1.2796984183093-π/2
    2.55939683661861-1.57079632675     		φ = 0.98860051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98860051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.642637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61720 KachelY 40393 -0.18292721 0.98860051 -10.480957 56.642637
    Oben rechts KachelX + 1 61721 KachelY 40393 -0.18287927 0.98860051 -10.478210 56.642637
    Unten links KachelX 61720 KachelY + 1 40394 -0.18292721 0.98857415 -10.480957 56.641127
    Unten rechts KachelX + 1 61721 KachelY + 1 40394 -0.18287927 0.98857415 -10.478210 56.641127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98860051-0.98857415) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dl = 167.939560000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98860051-0.98857415) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dr = 167.939560000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18292721--0.18287927) × cos(0.98860051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549859332872172 × 6371000     		do = 167.941193638377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18292721--0.18287927) × cos(0.98857415) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549881350062882 × 6371000     		du = 167.947918255142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98860051)-sin(0.98857415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549859332872172-0.549881350062882)×R²
    abs(-0.18287927--0.18292721)×2.20171907098221e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20171907098221e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20171907098221e-05×40589641000000     		ar = 28204.534831739m²