Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61718 / 77354
↖ ↑ ↗
← S 30.850364°
W 10.486450°		 ← 262.16 m → S 30.850364°
W 10.483704°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.852721°
W 10.486450°		 ← 262.15 m →
68 728 m²		 S 30.852721°
W 10.483704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470874786376953 y=0.590167999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470874786376953 × 217)
    floor (0.470874786376953 × 131072)
    floor (61718.5)     		tx = 61718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590167999267578 × 217)
    floor (0.590167999267578 × 131072)
    floor (77354.5)     		ty = 77354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61718 / 77354 ti = "17/61718/77354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61718/77354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61718 ÷ 217
    61718 ÷ 131072     		x = 0.470870971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77354 ÷ 217
    77354 ÷ 131072     		y = 0.590164184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.058258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18302308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590164184570312 × 2 - 1) × π
    -0.180328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.566518279709824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18302308} λ = -0.18302308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566518279709824))-π/2
    2×atan(0.567497871831749)-π/2
    2×0.5161779544145-π/2
    1.032355908829-1.57079632675     		φ = -0.53844042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18302308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53844042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.850364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61718 KachelY 77354 -0.18302308 -0.53844042 -10.486450 -30.850364
    Oben rechts KachelX + 1 61719 KachelY 77354 -0.18297515 -0.53844042 -10.483704 -30.850364
    Unten links KachelX 61718 KachelY + 1 77355 -0.18302308 -0.53848157 -10.486450 -30.852721
    Unten rechts KachelX + 1 61719 KachelY + 1 77355 -0.18297515 -0.53848157 -10.483704 -30.852721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53844042--0.53848157) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dl = 262.166649999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53844042--0.53848157) × R
    4.11499999999343e-05 × 6371000     		dr = 262.166649999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18302308--0.18297515) × cos(-0.53844042) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.85850947415082 × 6371000     		do = 262.156195800936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18302308--0.18297515) × cos(-0.53848157) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.858488371798537 × 6371000     		du = 262.149751943805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53844042)-sin(-0.53848157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85850947415082-0.858488371798537)×R²
    abs(-0.18297515--0.18302308)×2.11023522826981e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11023522826981e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11023522826981e-05×40589641000000     		ar = 68727.7669572393m²