Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61718 / 40710
↖ ↑ ↗
← N 56.160848°
W 10.486450°		 ← 170.04 m → N 56.160848°
W 10.483704°		 →
↑
170.11 m
↓
↑
170.11 m
↓
N 56.159318°
W 10.486450°		 ← 170.05 m →
28 926 m²		 N 56.159318°
W 10.483704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470874786376953 y=0.310596466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470874786376953 × 217)
    floor (0.470874786376953 × 131072)
    floor (61718.5)     		tx = 61718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310596466064453 × 217)
    floor (0.310596466064453 × 131072)
    floor (40710.5)     		ty = 40710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61718 / 40710 ti = "17/61718/40710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61718/40710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61718 ÷ 217
    61718 ÷ 131072     		x = 0.470870971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40710 ÷ 217
    40710 ÷ 131072     		y = 0.310592651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.058258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18302308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310592651367188 × 2 - 1) × π
    0.378814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19008146996751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18302308} λ = -0.18302308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19008146996751))-π/2
    2×atan(3.28734901669136)-π/2
    2×1.27549401103472-π/2
    2.55098802206944-1.57079632675     		φ = 0.98019170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18302308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98019170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.160848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61718 KachelY 40710 -0.18302308 0.98019170 -10.486450 56.160848
    Oben rechts KachelX + 1 61719 KachelY 40710 -0.18297515 0.98019170 -10.483704 56.160848
    Unten links KachelX 61718 KachelY + 1 40711 -0.18302308 0.98016500 -10.486450 56.159318
    Unten rechts KachelX + 1 61719 KachelY + 1 40711 -0.18297515 0.98016500 -10.483704 56.159318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98019170-0.98016500) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dl = 170.105700000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98019170-0.98016500) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dr = 170.105700000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18302308--0.18297515) × cos(0.98019170) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556863330186289 × 6371000     		do = 170.044916938251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18302308--0.18297515) × cos(0.98016500) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556885507118239 × 6371000     		du = 170.05168893121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98019170)-sin(0.98016500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556863330186289-0.556885507118239)×R²
    abs(-0.18297515--0.18302308)×2.21769319496135e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21769319496135e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21769319496135e-05×40589641000000     		ar = 28926.1856063685m²